2. Выбор основной системы

Основной системой будем называть геометрически неизме­няемую статически определимую систему, полученную из заданной стати­чески неопределимой путем устранения лишних связей и нагрузки.

На рис. 7.4., а показана статически неопределимая рама — заданная система. Степень статической неопределимости этой системы:

Л = 3К — Ш =3∙1—0 =3.

Следовательно, чтобы из заданной системы получить основную систему, надо освободить раму от нагрузки q и отбросить три лишние связи; по­следнее может быть выполнено различными способами, но в результате применения любого из них полученная основная система должна быть геометрически неизменяемой.

Так, например, на рис. 7.4., б показана основная система, полученная путем устранения нагрузки q и правой защемляющей опоры В, эквивалент­ной трем лишним связям.

Рис. 7.4. Выбор основной системы

Теперь сечение В основной системы может перемещаться по горизонталь­ному и вертикальному направлениям и поворачиваться в плоскости рамы на некоторый угол, т. е. в основной системе стали возможными те перемещения, которым в заданной системе препятствует правая защемляющая опора.

Чтобы устранить различие между заданной и основной системами, поступим так, как показано на рис. 7.4., в: нагрузим основную систему заданной нагрузкой q и в точке В ее, по направлениям указанных переме­щений сечения В, приложим соответствующие им пока неизвестные, горизонтальную и вертикальную силы Х₁; Х₂ и момент Х₃.

Величины Х₁; Х₂; X₃ называются лишними неизвестными и являются искомыми реакциями лишних связей, заменяющими действие отброшен­ных лишних связей на заданную систему.

Обращаем внимание, на то, что основная система, нагружен­ная заданной нагрузкой и лишними неизвестными, в отношении внут­ренних усилий и перемещений эквивалентна заданной статически неопре­делимой.

Кроме того, условимся в дальнейшем, как это принято в практических расчетах, основную систему на отдельном рисунке не изображать и взамен ее приводить рисунок выбранной основной системы, нагруженной задан­ной нагрузкой и лишними неизвестными.

Далее составляют уравнения совместности перемещений, каждое из которых должно выражать условие равенства нулю суммарного пере­мещения по направлению той или иной, отброшенной связи (неизвестной силы) от заданной нагрузки и всех лишних неизвестных. Эти уравнения, написанные в определенной, раз навсегда установленной форме, называют каноническими уравнениями метода сил. Число их должно равняться числу отброшенных связей. Для рассматриваемой рамы необходимо составить, таким образом, три канонических уравнения, имеющих следующий вид:

δ₁₁X₁ + δ₁₂X₂ + δ₁₃X₃ + ∆₁p = 0

δ₂₁X₁ + δ₂₂X₂ + δ₂₃X₃ + ∆₂p = 0 (25)

δ₃₁X₁ + δ₃₂X₂ + δ₃₃X₃ + ∆₃p = 0

г де δ₁₁ —перемещение точки приложения силы X₁ по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ₁₁ X₁ —перемещение той же точки в том же направлении, вызванное полным значением X₁;

δ₁₂ — перемещение точки приложения силы X₁ по направлению этой силы, вызванное единич­ной силой

δ₁₂ X₂ — перемещение той же точки в том же направле­нии, вызванное полным значением силы Х₂;

δ ₁₃ — перемещение точки приложения силы Х_х по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ₁₃X₃ — перемещение той же точки в том же направлении, вызван­ное полным значением силы Х₃;

∆_1p —перемещение той же точки в том же направлении, вызванное заданной нагрузкой; δ₂₁ X₁ — перемещение точки приложения силы Х₂ по направлению этой силы, вызванное силой X₁, и т. д.

Следует иметь в виду, что один раз составленные в общем виде п канонических уравнений с п неизвестными применимы для любой п раз стати­чески неопределимой системы. Так, уравнения (25) справедливы для любой трижды статически неопределимой системы.

Составив канонические уравнения метода сил, следует перейти к вы­числению единичных δ_ik и грузовых ∆_ip перемещений.

Для этого предварительно введем понятия о грузовом и единичном состояниях основной системы.

Грузовым назовем то состояние основной системы, при котором она находится только под действием заданной нагрузки.

Е диничным будем называть состояние основной системы, при ко­тором она нагружена только одной силой, равной единице е = 1, дейст­вующей в направлении неизвестной реакции X_t.

Заметим, что число единичных состояний основной системы должно соответствовать степени статической неопределимости заданной системы,

т. е. числу лишних неизвестных. Изобразив на рисунках грузовое и отдельно все единичные состояния основной системы, строят соответствующие им грузовую М_р и единичные M₁, M₂, ..., М_п эпюры изгибающих моментов.

Наконец, используя способ перемножения эпюр, вычисляют единич­ные δ_ik и грузовые ∆_ip перемещения.

Перемножая эпюры, следует помнить, что на основании теоремы о взаимности пере­мещений (теоремы Максвелла) единичные перемещения с взаимно пере­ставленными индексами равны между собой, т. е. δ_ik = δ_ki.

Вычисленные значения δ_ik и ∆_ip подставляют в канонические уравнения и решают полученную систему уравнений, в результате чего нахо­дят значения неизвестных реакций связей X₁, X₂, ..., Х_п.

Нагрузив те­перь основную систему заданной нагрузкой и уже известными силами X₁ = А₁; Х₂ = А₂, ..., Х_п = А_п, строят обычным путем (как для статиче­ски определимой системы) эпюры Q, М и N, которые и являются оконча­тельными эпюрами поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил для заданной системы.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно также получить путем суммирования ординат эпюры М_р с соответствующими ординатами эпюры

После определения неизвестных можно сразу получить эпюру М, по которой построить эпюру Q, а продольные силы определить из условий равновесия вырезаемых узлов рамы. Опорные реакции в этом случае находят в последнюю очередь, используя эпюры Q, М и N,

умноженными на X₁, ординатами эпюры , умноженными на Х₂ ..., и ординатами эпюры , умноженными на Х_п, т. е.

Единичные перемещения с одинаковыми индексами (δ₁₁, δ₂₂, δ₃₃ и т.д.) принято называть главными перемещениями, а с разными индексами

(δ₁₂, δ₁₃, δ₂₃ и т.д.) — побочными.

Главные перемещения никогда не обращаются в нуль и всегда имеют положительное значение, так как в этом случае эпюры умножаются сами на себя, т. е. и площадь ω и ордината у берутся из одной и той же эпюры.

Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными, а при удачном выборе основной системы и равными нулю. В последнем случае в значительной мере сокращаются и упрощаются операции по вы­числению перемещений.

На рис. 7.4., б основная система выбрана неудачно, так как для нее ни одно из побочных перемещений не обратится в нуль. Ниже эта рама будет рассчитана, при более рациональном выборе основной системы.