2. Вычисление интегралов Мора способом перемножения эпюр (Правило а. Н. Верещагина)

Применение этого способа в значительной степени упрощает вычисление интеграла Мора. Способ заключается в следующем. Строят эпюры нагибающих момен­тов от заданной нагрузки (эпюры М_п) и от единичной нагрузки (эпюру М_n). Пусть первая эпюра имеет криволинейное очертание, а вторая — прямо­линейное. Тогда интеграл Мора может быть вычислен как произведение площади ω_п эпюры криволинейного очертания (рис.6.1, а) на ординату у_п прямолинейной эпюры (рис. 6.1., б), взятую под центром, тяжести криволи­нейной, т. е.

, (20)

При перемножении эпюр ставят знак плюс, когда обе эпюры имеют одина­ковые знаки, и знак минус, когда их знаки разные.

Рис. 6.1. Эпюры моментов

Следует иметь в виду, что эпюра, для которой вычисляется площадь ω, может быть любого очертания (не только кри­волинейная), эпюра же, из которой берется ордината у, обязательно дол­жна быть прямолинейной. Если обе эпюры прямолинейные, то из одной (любой) может быть определена площадь ω, а из другой взята ордината у. Когда одна из эпюр имеет сложное очертание, ее разбивают на простые фигуры.

В этом случае:

ω·y = ω₁ ·y₁ + ω₂·y₂ + ω₃·y₃ +…+ ω_n·y_n (21)

В таблице 3 приведены значения площадей и абсцисс центров тяжести наиболее часто встречающихся фигур.

Если одна или обе эпюры очерчены ломаной линией, то их разбивают на участки таким образом, чтобы, по крайней мере, одна из перемножаемых эпюр в пределах каждого участка была прямолинейной.

Формула для определения перемещений с использованием правила А. Н. Верещагина имеет вид:

∆_1p = ∑ ω·y/E·I (22)

Здесь первый индекс (1) при ∆ показывает, что перемещение опреде­ляют по направлению единичной силы единичного состояния системы, второй (Р), — что это перемещение вызвано заданной нагрузкой.

В даль­нейшем эпюру моментов от единичной силы будем обозначать M1, а от за­данной нагрузки — M_р.

3. Примеры определения перемещений в статически определимых системах Пример 6.1.

Определить угол поворота сечения В бал­ки, защемленной одним кон­цом (рис.6.2, а) и нагруженной равномерно распре­деленной нагрузкой интен­сивностью q =2 кН/м. Жест­кость балки постоянна.

Рис. 6.2. Расчетная схема балки к примеру 6.1.

Решение

1-е состо­яние балки (действительное) показано на рис.6.2, а. Что­бы получить 2-е состояние (единичное), изображаем балку без заданной нагрузки, приложив в сече­нии В единичный момент т = 1 (рис.6.2, б).

Изгибающий момент в произвольном сечении 1-го состояния балки

Для 2-го состояния

Подставив эти значения в формулу (19), найдем после интегрирования угол поворота сечения В:

Пример 6.2.

Определить про­гиб свободного конца балки, защемленной одним концом (рис. 6.3, а). Жесткость балки постоянна.

Рис.6.3. Расчетная схема балки к примеру 6.2.

Решение

На рис. 6.3, б изображаем 2-е состояние бал­ки, приложив в точке В еди­ничную сосредоточенную силу. В действительном состоянии балка имеет два участка.

Для участка СВ: М1 = —Рх,; для участка AC: M1 = — Рх — Р(х— b)= — 2Рх+ Рb .

Во втором состоянии для обоих этих участков М₂ = — 1∙х= х

Искомое перемещение:

Пример 6.3.

Определить прогиб в середине пролета балки изображенной на рис.6.4., а. Жесткость балки постоянна.

Рис.6.4. Расчетная схема балки к примеру 6.3.

Решение

По направлению искомого перемещения прикладываем посредине балки во 2-м состоянии единичную сосредоточенную силу (рис. 6.4., б). Опорные реакции для действительного состояния: А =В = ql/2, для единичного состояния А = В = 1/2. Изгибающий момент в произвольном сечении действительного состояния балки:

Во 2-м состоянии балка имеет два рав­ных участка.

Для левого участка:

Ввиду симметрии балки величина ин­теграла для правой ее половины будет та­кая же, как и для левой. Поэтому интег­рирование будем вести в пределах левой половины балки, поставив перед интегра­лом коэффициент 2.

Итак, искомое перемещение: