45) Основные понятия и определения теории устойчивости движения. Дифференциальные уравнения возмущенного движения. Пример.
4 6) Равновесие и устойчивость равновесия голономных систем. Теорема Лагранжа-Дирихле.
Голономная
система — механическая
система,
все механические
связи которой
можно свести к геометрическим (то есть,
к голономным). Такие связи сводятся к
ограничениям только на положения тел
системы. Уравнения связи 
записывают
в виде:
где 
—
координаты, 
—
время, 
—
число связей.
Если все кинематические связи системы невозможно свести к геометрическим связям или их уравнения связи не могут быть проинтегрированы, то данная система будетнеголономной.
Рассмотрим математический маятник, состоящий из точечной массы, подвешенной на нити в поле сил тяжести. Если считать, что длина нити не изменяется, то уравнение связи можно записать в виде:
где 
—
координаты массы 
—
длина нити.
Уравнение
связи можно проинтегрировать, и как
видно, оно не зависит от производных 
и 
,
поэтому данная система — голономная.
Пример:
Пусть дифференциальные уравнения невозмущённого движения имеют вид:
Линеаризованные
уравнения при х=0 и у=0 имеют вид
Характеристическое
уравнение
Исследуем теперь
устойчивость решения системы нелинейных
уравнений, не применяя линеаризацию.
Рассмотрим произвольное решение
.
И Составим производную от выражения
48.Критерии устойчивости движения по первому приближению. Теоремы Гурвица.
Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об ус-
тойчивости системы по коэффициентам характеристического урав-
нения.
D(p)=a0pn+a1pn-1+..+an Сразу же заметим, что необходимым условием устойчивости
системы любого порядка является положительность всех коэффици-
ентов характеристического уравнения Для систем первого и второго порядков необходимое условие
устойчивости является и достаточным условием, поскольку в этом случае при положительных коэффициентах характеристи- ческого уравнения все его корни являются левыми. Однако для
систем третьего и высших порядков положительность коэффи- циентов характеристического уравнения является необходимым условием устойчивости, но недостаточным.
49. Теоремы 2-ого метода Ляпунова. Функции Ляпунова. Способы построения функции Ляпунова.
При исследовании
устойчивости прямым методом Ляпунова,
именуемым также второй методой Ляпунова,
предполагается использование непрерывной
скалярной функции переменных состояния
V(x) совместно с уравнениями состояния
(10.1)
при i = 1, 2, ... , n, где fi - нелинейные функции произвольного вида, удовлетворяющие условию
f1 = f2 = ... = fn = 0 при x1 = x2 = ... = xn = 0, (10.2)
Чтобы исследовать устойчивость по Ляпунову, необходимо подобрать некоторую знакоопределенную функцию V(x) и вычислить производную по времени от этой функции W(x).
Функция V называется знакоопределенной в некоторой области, если она во всех точках этой области в окрестности начала координат сохраняет один и тот же знак и нигде не обращается в нуль, кроме начала координат.
Функция V называется знакопостоянной (полуопределенной), если она сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.
Функция V называется знакопеременной, если она в данной области вокруг начала координат может иметь разные знаки.
Любая функция V(x) = V(x1, x2, ..., xn ), (10.3) тождественно обращающаяся в нуль при x1 = x2 = ... = xn = 0, называется функцией Ляпунова, если в ней в качестве x1, x2, ..., xn взяты переменные, в которых записаны уравнения (10.1) для этой системы.
К сожалению не
существует единого способа формирования
функции Ляпунова для анализа конкретных
систем. Наибольшее применение находят
функции Ляпунова в виде квадратичных
форм:
или в матричной форме
