20. Теорема об изменении количества движения системы материальных точки о движении центра масс.

Запишем дифференциальные уравнения системы в виде

или можно записать это в другом виде

R^e-главный вектор внешних сил

Сумму количеств движения всех точек системы в последнем выражении обозначим Q и назовем количеством движения системы материальных точек, т. е.

(4)

Тогда, учитывая, что главный вектор внутренних сил( Rⁱ =0) системы равен нулю, получаем запись теоремы об изменении количества движения системы материальных точек в дифференциальной форме:

(5)

то есть производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил системы.

Разделяя переменные в (5), записываем эту формулу иначе: dQ = R^edt. Предположим, что за промежуток времени от t₀ до t количество движения системы изменилось от Q₀ до Q, и при этих предположениях проинтегрируем последнее выражение. В результате получаем математическую запись теоремы об изменении количества движения системы материальных точек в интегральной форме, которую часто называют еще и теоремой импульсов:

(6)

По математической записи формулируем теорему: изменение количества движения системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно полному импульсу главного вектора внешних сил системы.

Проектируя выражения (5) и (6) на координатные оси, получаем запись обеих форм теоремы в координатной или аналитической форме:

	(7)
	(8)

В последних выражениях Q_x, Q_y, Q_z являются проекциями вектора количества движения системы на координатные оси, а Q_0x, Q_0y, Q_0z - их начальными значениями.

Теорема о движении центра масс

Для вывода теоремы используем теорему об изменении количества движения подставляя в нее количество движения, вычисленное по формуле .Вынося постоянную массу системы за знак производной, имеем запись теоремы о движении центра масс:

(15)

По внешнему виду запись совпадает с дифференциальным уравнением движения точки. Поэтому теорему о движении центра масс можно сформулировать следующим образом: центр масс системы материальных точек движется как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внешние силы системы.

Векторному равенству (15) соответствуют три скалярных уравнения записи теоремы в проекциях на оси координат:

	(16)

Теорема имеет закон сохранения. Если главный вектор всех внешних сил системы равен нулю, то есть R_e = 0, то, согласно (15), скорость центра масс остается постоянной, равной его начальной скорости V_C = const = V_0C, причем, если начальная скорость равна нулю, то есть V_0C = 0, то центр масс остается неподвижным.

21. Теорема об изменении момента количества движения.

Разделяя силы, действующие на точки системы, на внешние и внутренние, запишем для каждой точки системы теорему об изменении момента количества движения относительно неподвижного центра O:

Суммируя между собой правые и левые части полученных выражений, вынося производную за знак суммы, получаем

(5)

так как главный момент внутренних сил системы равен нулю.

Сумму моментов количеств движений материальных точек системы относительно неподвижного центра O назовем моментом количеств движений системы материальных точек или кинетическим моментом системы относительно центра O и обозначим K_O, то есть

(6)

Тогда из последнего выражения в (5) следует

(7)

то есть теорему об изменении момента количеств движения системы материальных точек в дифференциальной форме можно сформулировать так: производная по времени от момента количеств движения (кинетического момента) системы относительно неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра.