Лекция 8 Нормальных напряжений при чистом изгибе балки

8.1. Определение нормальных напряжений при чистом изгибе балки

Рассмотрим консольную балку^* произвольного поперечного се­чения, постоянного по длине, нагруженную в вертикальной плос­кости моментом (рис. 7.8,а). При такой нагрузке = 0, а = .

При прямом чистом изгибе балки справедливы:

1. Гипотеза плоских сечений Бернулли – сечения плоские и нор­мальные к оси балки до деформации остаются плоскими и нормаль­ными к ее оси и после деформации.

2. Гипотеза о ненадавливаемости волокон: нормальные напряжения в продольных сечениях балки не возникают.

Р ис. 8.1.

Т.к. поперечные силы = 0, то можно предположить, что не возникают в плоскости поперечных сечений и касательные нап­ряжения.

Двумя поперечными сечениями и + вырежем из балки элемент длиной (рис.8.1,б). На его торцах возникнут изги­бающие моменты , которые вызовут деформацию изгиба (рис. 8.1,в): продольная ось (волокно ) изогнется и получит ра­диус кривизны , длина же слоя не изменится, т.е. . Поперечные сечения при этом взаимно повернутся на угол . Во­локно , расположенное на расстоянии от продольной оси (от слоя ), удлинится и займет положение .

Относительное удлинение волокна :

.

Т.к. каждое волокно согласно принятым выше гипотезам ис­пытывает одноосное напряженное состояние, то, применив закон Гука, получим :

.

Таким образом, нормальные напряжения распределяются по ли­нейному закону. Определим их из условия равновесия элемента балки. При равновесии должны соблюдаться шесть уравнений равновесия:

1. Т.к. внутренние силы перпендику­лярны осям и , то ; .

2. или .

Получим

,

но ; (ось балки изогнута). Следовательно, м³.

Статический момент площади равен нулю относительно цент­ральной оси. Следовательно, нейтральная ось при изгибе совпадает с центральной осью поперечного сечения.

3. Уравнение обращается в тождество, т.к. внутренние силы параллельны оси .

4. Уравнение дает .

Получим

.

Рис. 8.2 Рис. 8.3

Т.к. , то тогда центробежный момент инерции . Тогда и - главные оси сечения, а момент должен лежать в главной плоскости, что и выполняется. Отсюда следует: силовая линия и нейтральная ось взаимно перпендикулярны.

5. Приравниваем нулю сумму моментов сил относительно оси :

; ; Получим:

или ,

где – кривизна нейтрального слоя балки; – жес­ткость поперечного сечения балки на изгиб относительно оси . Уравнение называют основным уравнением изгиба.

Получим искомую формулу:

,

где: – внутренний изгибающий момент в сечении, в котором оп­ределяют Нм; – осевой момент инерции поперечного сечения от­носительно нейтрального слоя [м⁴]; – расстояние от нейтраль­ного слоя до слоя, в котором определяют напряжения [м].

Эпюра нормальных напряжении представлена на рис. 8.3. Наибольшие напряжения возни­кают в крайних волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси поперечного сечения балки.