МИНИСТЕРСТВО АГРАРНОЙ ПОЛИТИКИ УКРАИНЫ

КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики и физики

ФИЗИКА

Раздел «ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ»

Методические указания

по выполнению лабораторной работы № 2.12

"Исследование вынужденных колебаний в колебательном контуре"

для студентов дневного и заочного отделений

специальностей:

6.070104	Судовождение
	Судовождение и промрыболовство
	Эксплуатация судовых энергетических установок
6.050702	Электрические системы и комплексы транспортных средств
6.050502	Оборудование перерабатывающих и пищевых производств
6.051701	Технология хранения, консервирования и переработки рыбы и морепродуктов

Керчь 2007

Авторы: Попова Т.Н. к.п.н., доцент кафедры Высшей математики и физики (ВМ и Ф) Керченского Государственного морского технологического университета (КГМТУ)

Гаджилов М.В. ассистент кафедры ВМ и Ф КГМТУ;

Дружняева Д.Ю. ассистент кафедры ВМ и Ф КГМТУ.

Кузьменко С.Н. к.ф.-м.н., доцент кафедры ВМ и Ф КГМТУ

Рецензент: Заведующий кафедрой «Электрооборудование судов и

автоматизации производства, доцент, к.т.н. Дворак Н.М.

Методические указания рассмотрены и одобрены на заседании кафедры ВМ и Ф КГМТУ,

протокол № 8 ___ от 9.06_____________ 2006__ г.

\Методические указания рассмотрены и рекомендованы и переутверждены на заседании методической комиссии ТФ КГМТУ,

протокол № __1_ от ________25 октября_____ 2007__ г.

Методические указания переутверждены на заседании Методического совета КГМТУ, протокол № __1_ от _____31________ 200_7_ г.

© Керченский государственный морской технологический университет 2007

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 4

Приборы и принадлежности 10

Описание установки 10

Порядок выполнения работы 12

Обработка результатов измерения 13

Контрольные вопросы 14

Литература 14

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2.12

Исследование вынужденных колебаний в колебательном контуре

Цель работы: Изучение вынужденных колебаний в последовательном колебательном контуре; снятие его резонансных характеристик (амплитудочастотных и фазочастотных); определение добротности, контура, параметров его элементов (индуктивности, ёмкости, активного сопротивления).

Введение

1. Чтобы в колебательном контуре, электрическая схема которого представлена на рис.1, совершились вынужденные колебания, необходимо включить последовательно с элементами контура генератор – источник ЭДС. ε:

(1)

По закону Ома для неоднородного участка цепи имеем для контура (потенциал обкладок и направление тока показаны на рис. 1; направление обхода – по часовой стрелке):

, (2)

где – ЭДС самоиндукции; активное сопротивление катушки индуктивности включено в R; внутренним сопротивлением генератора пренебрегаем.

Пусть q – заряд на обкладках конденсатора, тогда: ; и получаем уравнение вынужденных колебаний:

(3)

Обозначая , , (4)

где ω₀ – собственная частота контура, β – коэффициент затухания, получаем:

(5)

(точка – дифференцирование по времени).

Уравнение (5) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего синусоидального воздействия.

Общее решение уравнения (5) складывается из общего решения q₁ однородного уравнения:

(6)

и частного решения неоднородного уравнения (5). Общее решение однородного уравнения (6), в случае слабого затухания , описывает собственные затухающие колебания:

, (7)

где – амплитуда колебаний; – циклическая частота затухающих колебаний. Константы А и α из начальных условий.

Частное решение уравнения (5) проще всего искать в комплексной форме, сделав замену в правой части .

Правая часть уравнения (5) пропорциональна действительной части этого выражения. Пусть решением нового уравнения является комплексная функция , так что (8)

Тогда действительная часть этой функции является решением уравнения, у которого в правой части стоит т.е, искомым решением уравнения (5).

Будем искать частное решение уравнения (8) в виде . Подставляя это выражение в уравнение (8) получим: , тогда

.

Обозначим и запишем знаменатель в показательной форме , где ρ – модуль; ψ – фаза р определяются выражениями:

; (9)

; (10)

Тогда , (11)

И частное решение q₂ уравнения (5) определяется формулой:

. (12)

Общее решение уравнения (5) запишем в виде:

(13)

Формула (13) показывает, что при воздействии на контур синусоидальной ЭДС, в нем возникают колебания двух частот:

– незатухающие колебания с частотой внешней ЭДС (второй член уравнения);

– вынужденные колебания;

– затухающие колебания с собственной частотой ω_i.

Амплитуда собственных колебаний зависит от начальных условий и от времени. С течением времени она становится пренебрежительно малой по сравнению со вторым членом уравнения (13), и в контуре устанавливаются вынужденные колебания. Процесс установления вынужденных колебаний называется переходным. В дальнейшем будем полагать, что переходные процессы закончились и . В установившемся режиме заряд на конденсаторе изменяется по закону:

(14)

; (15)

(16)

Сила тока в контуре меняется по закону:

(17)

Здесь – сдвиг фаз между током в контуре и приложенной внешней ЭДС. Амплитудное значение тока I₀ и сдвиг фаз рассчитываются по формулам:

; (18)

. (19)

Величины и называются реактивными индуктивным и емкостным сопротивлениями соответственно, а

(20)

определяет полное сопротивление цепи или импеданс (или точнее его модуль).

Таким образом, между амплитудными значениями силы тока I₀ и ЭДС существует соотношение – аналог закона Ома для постоянного тока.

Сдвиг фаз φ в цепи определяется соотношением активных и реактивных сопротивлений:

- если в контуре присутствует только активное сопротивление, φ = 0 (ток колеблется в одной фазе с приложенной ЭДС);

- если в контуре присутствует только индуктивное сопротивление (ток отстает по фазе на от приложенного напряжения);

- если в контуре присутствует только емкостное сопротивление (ток опережает по фазе на приложенную ЭДС).

Сумма падений напряжений в последовательном контуре равна внешней ЭДС:

, (21)

где падения напряжения на каждом из элементов цепи определятся соотношениями:

(22)

(23)

(24)

Соотношение между амплитудными значениями падений напряжения выглядят следующим образом:

; ; ; (25)

Фазовые соотношения между , ; легко представить в виде векторной диаграммы, приведенной на рис. 2.

2. Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении их частоты к некоторой характерной для данной колебательной системы частоте – называется резонансом.

Найдем частоту ω внешней ЭДС, при которой сила тока в контуре максимальна. Из формулы (18) следует, что I₀ достигает максимума, когда , т. е. резонансная частота для тока определяется выражением:

, (26)

т.е. совпадает с собственной частотой свободных колебаний контура и не зависит от активного сопротивления. При этом

(27)

,

,

т.е. и все приложенное внешнее напряжение падает на активном сопротивлении. Это явление называется резонансом напряжений.

При сдвиг фаз между силой тока в контуре и внешней ЭДС равен нулю: , т. е. контур ведет себя, как активное сопротивление.

Зависимость амплитудных значений тока, напряжения в контуре от частоты носит название резонансной кривой. Резонансная кривая для тока в контуре описывается уравнением (18) и изображена на рис.3.

Н

Рис. 3 Резонансные кривые силы тока для

контуров с различными затуханиями

(β₁< β₂ < β₃)

а рис. 3 видно, что все резонансные кривые начинаются в нуле и максимум кривой тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания β, т.е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность (такой же вид имеют резонансные кривые для напряжения на активном сопротивлении).

Амплитуда напряжения на конденсаторе зависит от частоты следующим образом: (28)

Максимального значения амплитуда достигает тогда, когда выражение – минимально. Для нахождения этой частоты возьмем производную от него по ω и приравняем ее к нулю: . Случай соответствует минимуму , равному . Тогда резонансная частота для напряжения на конденсаторе определится выражением:

(29)

Резонансная частота меньше собственной, причем это отличие тем больше, чем больше затухание в контуре. На рис. 5 изображено семейство резонансных кривых для напряжения на конденсаторе в последовательном контуре. При все кривые начинаются в точке . Максимальное значение :

(30)

3. Важной характеристикой колебательного контура является добротность Q. Это безразмерная величина, характеризующая относительную величину потерь энергии в контуре:

, (31)

где W – энергия контура в данный момент, ΔW – убыль энергии за период.

Добротность связана с логарифмическим декрементом затухания:

, (32)

где – период затухания колебаний.

(33)

В случае слабого затухания . В этом случае резонансное напряжение на конденсаторе (в случае слабого затухания не делается различие между и ) равно: , (34)

т.е. добротность показывает во сколько раз резонансная амплитуда напряжения на конденсаторе контура больше амплитуды приложенной ЭДС.

Добротность можно определить по резонансной кривой. Определим ширину резонансной кривой следующим образом: проведем горизонтальную прямую и найдем частоты и в точках пересечения её с резонансной кривой (рис.6).

определяется по ф-ле (28), а – по ф-ле (30).

Поскольку по построению, то получаем уравнение для определения и :

, (35)

решение которого выглядит следующим образом: .

Обозначив эти решения и , получим: .

Для не очень большого затухания

, . (36)

Тогда (37)

и добротность определяется следующим образом:

, (38)

т.е. добротность равна отношению частоты к ширине резонансной кривой.

Точно таким же образом определяется добротность по резонансной кривой для силы тока: . (39)

4. Резонансные характеристики контура можно использовать для определения параметров его элементов. Реальный контур отличается от идеализированного (рис. 1) тем, что катушка индуктивности L имеет активное сопротивление R_L и, измеряя напряжение на катушке, мы тем самым измеряем суммарное падение напряжения на индуктивности и активном сопротивлениях (рис. 7).

Пусть сила тока при резонансе напряжений равна . Тогда падение напряжения (амплитудные значения) на элементах контура определится соотношениями:

, , (40)

(эти соотношения выполняются для любых частот).

(41)

(42)

(использовано соотношение ).

Решая эти уравнения относительно R, C, L (c использованием определения ), получаем:

, (43)

, (44)

, (45)

где - частота резонанса для силы тока.

Формулы (4З÷ (45) используются для нахождения параметров элементов цепи. Активное сопротивление можно вычислить, зная ток в цепи и падение напряжения на R: (46)

Амплитуды напряжения на конденсаторе достигают максимального напряжения на частоте: . (47)

Выразим добротность Q контура через и :

(48)

(см. формулу 33)

; . (49)

Решая (48) ) ÷ (49), получаем: . (50)

При амплитуда напряжения на конденсаторе: . Так как при слабом затухании добротность определяется по формуле:

, (51)

то , где ε₀ - амплитуда ЭДС генератора.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

Наборы неизвестных конденсаторов, катушек индуктивности, сопротивлений; генератор сигналов ГЗ-35; частотомер электронносчетный 43-34А; вольтметр цифровой В7-27А/1; осциллограф С1-49 (CI-72).