5.2. Определение напряжений в стержнях круглого поперечного сечения. Расчет на прочность

Рассмотрим стержень круглого поперечного сечения диаметром , нагруженного внешним крутящим моментом (рис. 5.3). Прямоугольная сетка, нанесенная на его поверхности, после де­формации превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений на их гранях, т.е. напряженное состояние в любой точке представляет собой чистый сдвиг.

Примем следующие гипотезы: 1. Все поперечные сечения остаются плос­кими и после деформации. 2. Радиусы поперечных сечений остаются прямыми и после деформации. 3. Расстояния между поперечными сечениями после деформа­ции не изменяются. Вырежем двумя поперечными сече­ниями и часть стержня и закрепим левым торцом (рис. 5.4).

В элементе радиусом выделим цилиндрический cлой, образующая которого после деформации займет положение под воздействием крутящего мо­мента , который для элемента можно считать внешним крутя­щим моментом. Поперечные сече­ния повернутся взаимно на угол [рад].

Из рис. 5.4 cледует: или . При­равняв правые части, подучим :

.

Обозначим

,

где  - относительный угол закручивания [рад/м].

Рис. 5.3 Рис.5.4

Элемент испытывает чистый сдвиг, следовательно справедлив закон Гука при сдвиге . Для слоя с радиусом получим ,

т.е. касательные напряжения в сечении меняются по линейному закону.

Установим зависимость между крутящим моментом и каса­тельными напряжениями в поперечном сечении :

или : .

Откуда ,

где - полярный момент инерции .

Получим формулу для определения относительного угла закручивания

.

Подставив получим формулу для определения в любой точке поперечного сечения:

,

где: - крутящий момент в сечении, в котором определяют напряжения [Н·м];

- полярный момент инерции поперечного сечения для круга [м⁴];

- радиус слоя поперечного сечения, в котором определя­ют напряжения.

Таким образом, следует, что наибольшие напряжения возникают в точках контура поперечного сечения при . Эпюра представлена на

рис. 5.5, а. По формуле получим , где - полярный мо-

а) б) мент сопротивления поперечного

Рис. 5.5 сечения.

Для круга диаметра полярный момент сопротивления равен:

.

для кольца наружного диаметра и внутреннего диаметра (рис. 5.5, б) получим:

,

где .

5.3. Расчёт на прочность при кручении. Наибольшие напряжения возникают в опасном сечении вала – сечении, в котором возникает наибольший по абсолютной величине внутренний крутящий момент

.

Условие прочности имеет вид

.

Допускаемое напряжение на кручение, как и при других видах деформации, определяют по формуле

,

где – предельное напряжение ( – для пластичных и – для хрупких материалов), а – коэффициент запаса прочности.

Т.к. данных испытания различных материалов на кручение значительно меньше, чем на растяжение, то принимают из опыта по . Так, например, для стали 0,5 , для чугуна .

Также как и при растяжении и изгибе при расчёте на прочность при кручении возможны следующие три вида задач, различающихся формой использования условия прочности :

Проверочный расчёт – выполняется по формуле для опасного сечения вала.

Проектировочный расчет – подбор размеров сечения вала.

Для круга:

;

для кольца имеют

,

где - заданное отношение диаметров.

Определение допускаемой нагрузки. Тогда

.