22. Алгебра Жегалкина

Множество булевых функций, заданный в базисе Жегалкина S4={⊕,&,1} называется алгеброй Жегалкина.

      Основные свойства:

      1. коммутативность:  H1⊕H2=H2⊕H1;  H1&H2=H2&H1.

      2. ассоциативность:   H1⊕(H2⊕H3)=(H1⊕H2)⊕H3;  H1&(H2&H3)=(H1&H2)&H3.

      3. дистрибутивность: H1&(H2⊕H3)=(H1&H2)⊕(H1&H3)

      4. свойства констант: H&1=H;  H&0=0;  H⊕0=H.

      5. H⊕H=0;  H&H=H/

 Утверждение. Через операции алгебры Жегалкина можно выразить все другие булевы функции:

      ¬X=1⊕X;  XvY=X⊕Y⊕XY;   X∼Y=1⊕X⊕Y;  X→Y=1⊕X⊕XY;  X↓Y=1⊕X⊕Y⊕XY; X|Y=1⊕XY Определение. Полиномом Жегалкина (полиномом по модулю 2) от n переменных X1,X2 ... Xn называется выражение вида:  C0⊕C1X1⊕C2X2⊕ ... ⊕CnXn⊕C12X1X2⊕ ... ⊕C12 ... nX1X2 ... Xn,где постоянные Ck могут принимать значения 0 ли 1.

Линейные функции

Определение. Функция называется линейной, если её полином Жегалкина не содержит конъюнкций. Общий вид линейной функции  f = C₀ ÅC₁×x₁Å C₂×x₂ Å… ÅC_n×x_n.

Число различных линейных функций от не более чем n переменных определяется формулой N = 2ⁿ⁺¹.

Суперпозиция линейных функций есть функция линейная, следовательно, множество линейных функций образуют класс линейных функций, обозначаемый как L. Базисом класса L служит множество {xÅy, 1}

 

23. Замкнутые системы

Замкнутый класс в алгебре логики - такое множество   функций алгебры логики, замыкание которого относительно операции суперпозиции совпадает с ним самим:  .

Другими словами, любая функция, которую можно выразить формулой с использованием функций множества  , снова входит в это же множество.

Свойства замыкания Править

1. Любое множество является подмножеством своего замыкания:  .

2. Замыкание подмножества является подмножеством замыкания:  . Следует заметить, что из строгого вложения множеств следует лишь нестрогое вложение их замыканий:  .

3. Многократное применение операции замыкания эквивалентно однократному:  .

Примеры замкнутых классов Править

• Множество функций, принимающих только одно значение (констант), замкнуто. Если в качестве агрументов функции не рассматривать фиктивных переменных, суперпозиция в классе констант вообще окажется невозможной.

• Множество унарных функций замкнуто.

• Множество   всех возможных булевых функций замкнуто.

Особо важны для теории булевых функций следующие замкнутые классы, выделенные Эмилем Постом:

• Класс   функций, сохраняющих константу 0: .

• Класс   функций, сохраняющих константу 1: .

• Класс   самодвойственных функций: .

• Класс   монотонных функций: .

• Класс   линейных функций: .

Ни один из классов Поста не содержится целиком в объединении четырёх остальных; любой замкнутый класс булевых функций, отличный от  , целиком содержится хотя бы в одном из пяти классов Поста.

Некоторые свойства замкнутых классов

• Непустое пересечение замкнутых классов снова является замкнутым классом.

• Объединение замкнутых классов может замкнутым классом не являться.

• Замкнутый класс булевых функций, содержащий не только константы, обязательно содержит тождественную функцию.

• Дополнение замкнутого класса булевых функций до множества всех булевых функций   замкнутым классом не является