11. Конъюнктивная нормальная форма и совершенная конъюнктивная нормальная форма

Элементарной дизъюнкцией п пере­менных называется дизъюнкция переменных или их от­рицаний.

Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) формулы А называется равносильная ей форму­ла, представляющая собой конъюнкцию элементарных дизъюнкций.

Для любой формулы алгебры логики путем равносиль­ных преобразований можно получить ее КНФ, причем не единственную.

Например, для формулы А =  (х  у)  х  у имеем:

А = ( (х  у)  х  у)  (х  у   (х  у)) =

= (х  у  х  у)  ( (х  у)   (х  у)) =

= (х  х  у)  (х  у  у)  ( х   у   х)  (  х   у   у) , то есть

КНФ А = (х  х  у)  (х  у  у)  ( х   у   х)  (  х   у   у).

Но так как х  х = х, у  у = у,  х   х =  х,  у   у =  у, то

КНФ A = (х  у)  (х  у)  ( х   у)  (  х   у).

А так как (х  у)  (х  у) = х  у, ( х   у)  (  х   у) = (  х   у), то

КНФ A = (х  у)  (  х   у).

КНФ А называется совершенной конъюнктивной нормальной формой формулы А (СКНФ А), если для нее выполнены условия:

• Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ А , различны.

• Все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ А, содержат все переменные.

• Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, не содержит двух одинаковых переменных.

• Каждая элементарная дизъюнкция, входящая в КНФ А, не содержит переменную и ее отрицание.

Можно доказать, что каждая не тождественно истин­ная формула имеет единственную СКНФ.

Один из способов получения СКНФ состоит в исполь­зовании таблицы истинности для формулы  А. Действительно, получив с помощью таблицы истин­ности СДНФ  А, мы получим СКНФ А, взяв отрицание  (СДНФ  А), то есть СКНФ А =  (СДНФ  А).

Другой способ получения СКНФ, использующий рав­носильные преобразования, состоит в следующем:

1. Путем равносильных преобразований формулы А получают одну из КНФ А.

2. Если в полученной КНФ А входящая в нее эле­ментарная дизъюнкция В не содержит переменную х_i, то, используя закон В  (x_i   x_i) = В, элементар­ную дизъюнкцию В заменяют на две элементарные дизъ­юнкции В  x_i и В   x_i, каждая из которых содержит переменную x_i.

3. Если в КНФ А входят две одинаковых элементар­ных дизъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь законом В  В = В.

4. Если некоторая элементарная дизъюнкция, вхо­дящая в КНФ А, содержит переменную x_i дважды, то лишнюю можно отбросить, пользуясь законом x_i  x_i = x_i.

5. Если некоторая элементарная дизъюнкция, вхо­дящая в КНФ А, содержит переменную x_i, и ее отрица­ние, то x_i   x_i = 1 и, следовательно, вся элементарная дизъюнкция имеет значение 1, а поэтому ее можно от­бросить, как истинный член конъюнкции.

Ясно, что после описанной процедуры будет получе­на СКНФ А. Например, для формулы А = x  y  (x   y) КНФ А = x  (y  (x   y)) = (x  y)  (x  x   y). Так как обе элементарные дизъюнкции содержат все переменные (x и y), то первое и второе условие СКНФ выполнены. Элементарная дизъюнкция x  x   y содержит переменную х дважды, но x  x = x, поэтому КНФ А = (x  y)  (x   y); причем, ни одна из элементарных дизъюнкций не содержит переменную и ее отрицание. Значит, все условия СКНФ выполнены, и, следовательно, СКНФ А = (x  y)  (x   y).