19. Минимизация частично определенных булевых функций

В реальных задачах часто бывает так, что значение булевой функции на некоторых наборах не определено и может доопределяться произвольно. Тогда доопределение функции целесообразно проводить так, чтобы ее минимальная нормальная форма имела наименьшее число букв из всех возможных вариантов доопределения.

 

Алгоритм поиска МДНФ частично определенной функции :

 

1. найти любым способом СкДНФ функции, получающуюся доопределением единицами исходной функции   на всех неопределенных наборах;

2. выбрать МДНФ по импликантной матрице, где в столбцах выписаны лишь те конституэнты "1" функции  , которые соответствуют полностью определенным единичным наборам.

 

По диаграмме Вейча:

 

ДНФ:   ДНФ:

КНФ:   КНФ: 

 

ДНФ:   КНФ:

 

 

 

 

20. Минимизация функций в базисах и-не и или-не

Функции " стрелка Пирса" (ИЛИ-НЕ) и "штрих Шеффера" (И-НЕ) обладают функциональной полнотой; для двух переменных:

Для n переменных:

 

Эти соотношения позволяют свести задачу минимизации булевой функции в рассматриваемых базисах к задаче минимизации ДНФ и КНФ.

Для того, чтобы перейти от КНФ функции   к выражению, представляющему функцию   с помощью операции "стрелка Пирса" достаточно заменить в КНФ все операции конъюнкции и дизъюнкции операцией  , сохранив скобки и отрицания на своих местах.

КНФ функции   можно представить в общем виде:

где   – элементарные дизъюнкции :  ; 

Используя операцию   для n переменных, получим:

Таким образом, минимизацию функции можно осуществлять в базисе  , а затем перейти к операции  . Операция   с помощью   реализуется таким образом:

При переходе от многоместных операций к двухместным, необходимо учитывать, что функции   и / не подчиняются закону ассоциативности ( ; ). Если элементы только двухвходовые, то можно использовать следующие переходные соотношения:

 

Пример: рассмотрим функцию, заданную диаграммой Вейча:

МКНФ: 

Переходя к двухместным операциям, получаем:

Аналогично осуществляется переход от произвольной ДНФ к выражению, содержащему только операцию "штрих Шеффера". Справедливы также переходные соотношения:

Пример:

МДНФ: 

 

21. Полные системы булевых функций Полные системы функций Править

Множество   функций алгебры логики называется полной системой, если замыкание этого множества совпадает с множеством всех функций. (В частности, для двузначной логики  .) Другими словами, должна быть возможность любую функцию алгебры логики выразить формулой с использованием функций множества  .

Критерий Поста формулирует необходимое и достаточное условие полноты системы булевых функций: Система булевых функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из классов  ,  ,  ,  ,  . В частности, если функция не входит ни в один из классов Поста, она сама по себе формирует полную систему. В качестве примера можно назвать функцию Шеффера (отрицание конъюнкции).

Широко известны такие полные системы булевых функций:

•  (конъюнкция, дизъюнкция, отрицание);

•  (конъюнкция, сложение по модулю 2, константа 1).

Первая система используется, например, для представления функций в виде дизъюнктивных иконъюнктивных нормальных форм, вторая - для представления в виде полиномов Жегалкина.

Полная система функций называется базисом, если она перестаёт быть полной при исключении из неё любого элемента. Первая из упоминавшихся выше полных систем базисом не является, поскольку согласнозаконам де Моргана либо дизъюнкцию, либо конъюнкцию можно исключить из системы и восстановить с помощью остальных двух функций. Вторая система является базисом — все три её элемента необходимы для полноты. Максимально возможное число булевых функций в базисе — 4.

Иногда говорят о системе функций, полной в некотором замкнутом классе, и соответственно о базисе этого класса. Например, систему   можно назвать базисом класса линейных функций.