9. Двойственные функции
Определение.
Функция 
называется
двойственной к функции 
.
Из
определения следует, что для того, чтобы
получить таблицу значений двойственной
функции 
,
нужно в таблице значений функции 
(и
в части переменных,
и в части значений ) заменить все 0 на 1,
а все 1 на 0. При этом, правда, порядок
следования бинарных наборов 
в
левой части таблицы изменится на обратный
по сравнению с исходной таблицей. Чтобы
его восстановить, нужно перевернуть
все столбцы (в том числе и столбец
значений). Таким образом, можно
сформулировать следующее правило
получения таблицы истинности двойственной
функции 
:
нужно (не меняя столбцы аргументов) в
столбце значений функции 
заменить
все 0 на 1, а 1 на 0, и перевернуть полученный
столбец.
Пример.
Пусть 
,
тогда 
.
Таким образом, двойственной функцией
к конъюнкции является дизъюнкция.
Поскольку для всех функций очевидно 
,
то обратно: двойственной к дизъюнкции
является конъюнкция. Кроме того, легко
видеть, что 
, 
; 
, 
; 
.
Теорема: Функция, двойственная к суперпозиции функций, есть суперпозиции функций, двойственных к функциям, составляющим эту суперпозицию.
Доказательство:
(f(g1,…,gm))* = ¬f(g1(¬x1,1, ¬x1,2,…,¬x1,n1),…,gm(¬xm,1, ¬xm2,1,…,¬xm,nm)) =
=¬f(¬¬g1(¬x1,1,¬x2,1,…,¬x1,n1),…,¬¬gm(¬xm,1,¬xm,2,…,¬xm,nm))=¬f(¬g1*,…,¬gm*)=f*(g1*,…,gm*)
Принцип двойственности.
Если функция f задана формулой, построенной с помощью &,?,¬,0,1 и переменных, то по теореме о суперпозиции двойственных функций и ввиду того, что для функций x&y, ¬x, ,1,0 двойственными являются x?y ,x ,0,1 соответственно, то f* получается из f заменой & на ?, 0 на 1 и т.д. при сохранении исходной расстановки скобок.
10. Дизъюнктивная нормальная форма и совершенная дизъюнктивная нормальная форма
Элементарной конъюнкцией n переменных называется конъюнкция переменных или их отрицаний.
Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) формулы А называется равносильная ей формула, представляющая собой дизъюнкцию элементарных конъюнкций.
Для любой формулы алгебры логики путем равносильных преобразований можно получить ее ДНФ, причем не единственную.
Например, для формулы А = х (х y) имеем:
А = х ( х y) = (х х) (х y) = х y, то есть
ДНФ А = (х х) (х y) и
ДНФ А = х y.
Среди многочисленных ДНФ А существует единственная ДНФ А, для которой выполняются перечисленные выше четыре свойства совершенства. Такая ДНФ А называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой формулы А (СДНФ А).
Как уже указывалось, СДНФ А может быть получена с помощью таблицы истинности.
Другой способ получения СДНФ формулы А основан на равносильных преобразованиях формулы и состоит в следующем:
путем равносильных преобразований формулы А получают одну из ДНФ А.
если в полученной ДНФ А входящая в нее элементарная конъюнкция В не содержит переменную xi, то, используя закон B (xi xi) = B, элементарную конъюнкцию B заменяют на две элементарных конъюнкции (B xi) и (B xi), каждая из которых содержит переменную xi.
если в ДНФ А входят две одинаковых элементарных конъюнкции В, то лишнюю можно отбросить, пользуясь равносильностью В В = В.
если некоторая элементарная конъюнкция В, входящая в ДНФ А, содержит переменную xi и ее отрицание xi, то, на основании закона xi xi = 0, В = 0 и В, таким образом, можно исключить из ДНФ А, как нулевой член дизъюнкции.
если некоторая элементарная конъюнкция, входящая в ДНФ А, содержит переменную xi дважды, то одну переменную можно отбросить, пользуясь законом xi xi = xi.
Ясно, что после выполнения описанной процедуры будет получена СДНФ А. Например, для формулы А = x y (x y) ДНФ А = x (x y) (y y). Так как элементарная конъюнкция В = х, входящая в ДНФ А, не содержит переменной у, то заменим ее на две элементарных конъюнкции (x y) и (x y), В результате получим ДНФ А = x y x y x y y y.
Так как теперь ДНФ А содержит две одинаковых элементарных конъюнкции x y, то отбросим лишнюю. В результате получим ДНФ A = x y x y y y.
Так как элементарная конъюнкция y y содержит переменную у и ее отрицание, то y y = 0, и ее можно отбросить как нулевой член дизъюнкции.
Таким образом, получаем СДНФ А = x y x y.