Заняття №6 Метод Остроградського.

Справедлива наступна формула, яка належить М.В.Остроградському :

, де - правильна дріб, Q₁(x) – найбільший загальний дільник Q(x) та Q'(x),

- многочлени, які мають степінь відповідно на одиницю менш степені многочлена Q₁(x) и Q₂(x), знаходяться із тотожності - метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад:

Диференціюючи обидві частини цієї тотожності, відповідно отримаємо

або

Прирівняв коефіцієнти при відповідних степенях х, будемо мати: і, відповідно,

Знайдемо наступні інтеграли :

Домашнє завдання:

Заняття №7 Інтегрування тригонометричних функції.

1. Інтегрування виду

Підстановка . Цю підстановку називають універсальною тригонометричною. В цьому випадку, інтеграл зводиться до раціонального дробу відносно нового аргументу t.

Приклад:

а)

б)

2. Інтеграл виду , де m та n парні невід’ємні цілі числа. В цьому випадку використовують формули зниження степені:

Приклад:

а)

б)

2^а) Як що в хоча б одне із чисел m або n – непарне додатне ціле число, то відокремлюємо від непарної степені один множник першої степені та виражаємо за допомогою формули парну степінь, яка залишилася, через додаткову функцію, та приходимо до табличного інтегралу.

3. Інтеграли виду:

зводяться до табличних з допомогою формул:

Приклад:

Інтеграли виду зводяться до табличних підстановками: .

Приклад:

Обчислити наступні інтеграли:

Домашнє завдання:

Обчислити наступні інтеграли:

Заняття №8 Інтегрування ірраціональних функції.

1. Інтегрування виду , де R – раціональна функція своїх аргументів; - цілі числа, підстановка (k – найменший загальний кратне число ) зводять к інтегралу від раціональних функції. Подібним образом знаходяться інтеграли виду

Треба використовувати підстановку .

Приклади:

а)

б)

2) інтеграли виду а) . В цьому випадку використовують підстановку . б) . В цьому випадку використовують підстановку .

Приклад:

2. Інтеграли від диференційного бінома.

Ці інтеграли мають вид , де m,n,p – раціональні числа; а, в – дійсні числа.

а) р – ціле число. Використовується підстановка , де к- загальний знаменник для m та n.

б) . Як що - ціле число або нуль, тоді використовується підстановка .

Приклад:

в) Як що - дрібне, а - ціле або нуль, то використовують підстановку .

Приклад :

Обчислити наступні інтеграли:

Домашнє завдання: