§10. Невласний інтеграл

1. Інтеграли с нескінченими межами інтегрування.

Якщо функція y = f(x) неперервна при , то невласний інтеграл с нескінченою верхньою границею інтегрування знаходиться за формулою:

(1)

за аналогією, інтеграли:

(2)

(3)

Приклад. Обчислити

Розв’язання:

Невласний інтеграл називається збіжним, якщо існує границя в правій частині рівностей (1-3). Якщо вказана границя не існує, невласний інтеграл називається розбіжним.

2. Інтеграл від необмежених функцій.

Якщо функція y = f(x) не обмежена в будь - якому околі точки з відрізка [a;b] і неперервна при і , то:

де α і β змінюються незалежно одне від одного. У випадку c = b або с = а отримуємо:

або

Невласний інтеграл від необмеженої функції називається збіжним або розбіжним в залежності від того, існують чи ні скінчені границі відповідних визначених інтегралів.

Приклад 1. Обчислити інтеграл або встановити його розбіжність.

Розв’язання:

Приклад 2. Обчислити інтеграл або встановити його розбіжність:

Розв’язання:

Обчислити невласні інтеграли або встановити їх розбіжність:

Завдання для домашньої роботи:

§1. Обчислити визначені інтеграли:

§ 2. Обчислити визначені інтеграли:

§ 3. Обчислити визначені інтеграли:

§ 4. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

§ 5. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

§ 6. Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями:

Обчислити об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Оу фігури, обмеженої лініями:

§ 7. Знайти довжину дуги кривої:

від точки до точки .

від точки с абсцисою х = 0 до точки з абсцисою х = 12.

§ 8. Площа поверхні обертання.

Обчислити площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі ОХ фігури, обмеженої лініями: