17. Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, которая может принять любое значение из заданного числового отрезка.
Вероятность
любого отдельного значения непрерывной
случайной величины равна
нулю. Этот вывод можно получить из
соотношения (1.24), согласно которому 
для
дискретных случайных величин.
Если
неограниченно уменьшать отрезок (a, b),
полагая 
,
то в пределе получим не вероятность
попадания на участок, а вероятность
того, что случайная величина X = a,
т. е.
.
Если функция F(x) непрерывна в точке а, то этот предел равен нулю.
Непрерывными случайными величинами называют еще величины, функция распределения которых везде непрерывна. Таким образом, обладать нулевой вероятностью могут не только невозможные (как определялось ранее), а и возможные события. Это появляется при рассмотрении экспериментов, не сводящихся к схеме случаев.
Как указывалось ранее, закон распределения для непрерывной случайной величины может быть задан с помощью функции распределения.
Кроме этого, для задания закона распределения непрерывной случайной величины используется функция f(x) = F/(x), которая называется плотностью вероятности и которая является производной от функции распределения. Поэтому ее еще называют дифференциальнойфункцией, а функцию распределения называют интегральной функцией.
Кривая, изображающая плотность распределения, называется кривой распределения; пример кривой распределения представлен на рис. 1.7.
Рис.
1.7. График плотности распределения, или
кривая распределения
Вероятность попадания непрерывной случайной величины на отрезок от a до b определяется в виде
|
|
18.
Функцией
распределения называют
функцию 
,
определяющую вероятность того, что
случайная величина 
в
результате испытания примет значение,
меньшее 
,
т.е.
Свойство
1. Значения
функции распределения принадлежат
отрезку 
:
Свойство
2. 
—неубывающая
функция, т.е.
, если 
Свойство
3. Если
возможные значения случайной величины
принадлежат интервалу 
,
то: 1) 
при 
;
2) 
при 
.
19. Плотностью распределения (или плотностью вероятности) непрерывной случайной величины X в точке x называется производная ее функции распределения в этой точке и обозначается f(x). График плотности распределения называется кривой распределения.
Пусть имеется точка x и прилегающий к ней отрезок dx. Вероятность попадания случайной величины X на этот интервал равна f(x)dx. Эта величина называется элементом вероятности.
Вероятность попадания случайной величины X на произвольный участок [a, b[ равна сумме элементарных вероятностей на этом участке:
В геометрической интерпретации P{α≤X<β} равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и опирающейся на участок (α,β) .
Это соотношение позволяет выразить функцию распределения F(x) случайной величины X через ее плотность:
В геометрической интерпретации F(x) равна площади, ограниченной сверху кривой плотности распределения f(x) и лежащей левее точки x.
Основные свойства плотности распределения:
Плотность распределения неотрицательна: f(x) ³ 0.
Это свойство следует из определения f(x) – производная неубывающей функции не может быть отрицательной.
2.
Условие нормировки:
Это
свойство следует из формулы, если
положить в ней x=∞.
Геометрически основные свойства плотности f(x) интерпретируются так:
вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс;
полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
20. Математическое ожиданием М(Х) называется средняя величина возможных значений случайных величин, взвешенных по их вероятности. Выражается формулой:
Свойство 1. Мат. ожидание постоянной равно этой постоянной.
Свойство 2. Мат. ожидание суммы случайных величин равно сумме их мат. ожиданий:
Из этого свойства следует следствие:
Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математическихожиданий:
Свойство 3. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин Х и Y равно произведению математических ожиданий этих вел. M(XY)=M(X)·(M)Y.
Следствие. Постоянный множитель можно вынести за знак математических ожидания: М(сХ) = сМ(Х)