12. Интегральная теорема Лапласа
Предположим,
что производится n испытаний,
в каждом из которых вероятность появления
события A постоянна
и равна p(0<p<1) .
Как вычислить вероятность 
того,
что событие A появится
в n испытаниях
не менее 
и
не более 
раз
(для краткости будем говорить
«от
до
раз»)?
На этот вопрос отвечает интегральная
теорема Лапласа, которую мы приводим
ниже, опустив доказательство.
Теорема:
Если
вероятность 
наступления
события 
в
каждом испытании постоянна и отлична
от нуля и единицы, то вероятность
того,
что событие
появится
в 
испытаниях
от
до
раз,
приближенно равна определенному
интегралу
|
|
где
и
При
решении задач, требующих применения
интегральной теоремы Лапласа, пользуются
специальными таблицами, так как
неопределенный интеграл 
не
выражается через элементарные функции.
Таблица для интеграла
13. Формула Пуассона
Формула Бернулли удобна для вычислений лишь при сравнительно небольшом числе испытаний . При больших значениях пользоваться этой формулой неудобно. Чаще всего в этих случаях используют формулу Пуассона. Эта формула определяется теоремой Пуассона.
Теорема. Если
вероятность 
наступления
события 
в
каждом испытании постоянна и мала, а
число независимых испытаний
достаточно
велико, то вероятность наступления
события
ровно 
раз
приближенно равна
,
где 
.
14. Отклонение частоты от постоянной вероятности
Разность, взятая по модулю p(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε) , ε>0
Мы должны определить вероятность того, что заданное отклонение не превзойдет величину ε.
−ε<nm−p<ε,−ε<nm−pn<ε умножим на √npq ,
получим −ε√npq<√npqm−pn<ε√npq,√npqm−pn=k,
тогда (на основании интегральной теоремы Лапласа)
p(−ε√npq<ε√npq)=Φ(ε√npq)−Φ(−ε√npq)=2Φ(ε√npq)
Получили p(∣ ∣ nm−p∣ ∣ <ε)=2Φ(ε√npq)
15. Независимые испытания с переменной вероятностью успеха. Производящая функция
Будем считать, что находимся в условиях схемы Бернулли. Проводится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равна р ( 0 < р < 1). Эту вероятность называют постоянной вероятности (т.к. она не меняется). Предположим, что на практике в n испытаниях случилось m успехов. Величину m/n называют относительной частотой, она является некоторым практическим приближением теоретической вероятности р. Понятно, что они в реальной жизни отличаются. Задача – найти вероятность того, что теоретическая вероятность отличается от практического приближения не больше, чем на достаточно малую величину e .
(левая часть читается как: “Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности не больше, чем на величину e .”)
производящая функция — это бесконечный ряд
коэффициенты которого порождают (производят, генерируют) последовательность чисел a0, a1, a2, … Тот факт, что коэффициент anявляется множителем при zn обозначают следующим образом:
16. Случайные величины дискретного типа и их характеристики
Определение: Случайной называется величина, которая в результате испытания принимает только одно значение из возможного множества своих значение, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин.
Различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.
Определение: Случайная величина Х называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное или бесконечное, но счетное.
Другими словами, возможные значения дискретной случайной величину можно перенумеровать.
Описать случайную величину можно с помощью ее закона распределения. Определение: Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.
Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан в виде таблицы, в первой строке которой указаны в порядке возрастания все возможные значения случайной величины, а во второй строке соответствующие вероятности этих значений, т.е.
x x1 x2 х3 … хn
p р1 р2 р3 ... рn
где р1+ р2+…+ рn=1
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.
Если множество возможных значений случайной величины бесконечно, то ряд р1+ р2+…+ рn+… сходится и его сумма равна 1.
Определение: Функцией распределения дискретной случайной величины Х называется функция F(x), определяющая для каждого значения х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше х:
F(x)=Р(Х<х)
К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание.
Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:
n
М(Х)=∑ xiрi= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
i=1
Математическое ожидание служит характеристикой среднего значения случайной величины.
Определение: Дисперсией D(X) случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться формулой:
D(X)=M(X2)-(M(X))2,
n
где М(Х)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn
i=1
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния возможных значений случайной величины используют также величину √D(X).
Определение:
Средним квадратическим отклонением
σ(Х)
случайной величины Х называется
квадратный корень из дисперсии:
