4. Свойства вероятности
С в о й с т в о 1. Вероятность достоверного события равна единице.
Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае m = n, следовательно,
Р (A) = m / n = n / n = 1.
С в о й с т в о 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию. В этом случае m = 0, следовательно,
Р (А) = m / n = 0 / n = 0.
С в о й с т в о 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.
Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < m < n, значит, 0 < m / n < 1, следовательно,
0 < Р (А) < 1
Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству
0 <= Р (A) < 1.
Нормировка вероятности:
0 ≤ p (A) ≤ 1 для любого события A |
Вероятность противоположного события:
|
Для независимых событий A и B:
p (A и B) = p (A) p (B) |
p (A или B) = p (A) + p (B) |
Условная вероятность:
p (AB) = p (B) · p (A | B) |
Формула полной вероятности:
p (B) = p (B | A1) p (A1) + p (B | A2) p (A2) + p (B | A3) p (A3) +… + p (B | Ak) p (Ak) |
5. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей Совместные (совместимые) события – это события, для которых наступление одного из них не исключает возможности наступления других в данном испытании, т.е. они могут появиться вместе.
Несовместные (несовместимые) события - это события, для которых наступления одного из них исключает наступление других в одном и том же испытании, т.е. они не могут появиться вместе.
Например, получение студентом на экзамене по одной дисциплине оценок “отлично”, “хорошо”, “удовлетворительно” – события несовместные, а получение этих же оценок на экзамене по трем дисциплинам – события совместные.
Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:
Если А и В - совместные события, то их сумма1 А В обозначает наступление или события А, или события В, или обоих событий вместе. Если А и В - несовместные события, то их сумма А В означает наступление или события А, или события В. 6. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей
Событие A называется независимым от события B, если возможность наступления события A не зависит от того, произошло событие B или нет.
В противном случае события являются зависимыми. Условной вероятностью события B при наличии A называется величина
(при
этом полагается, что P(A) не равно 0).
Условную вероятность события P(B/A) можно трактовать как вероятность события B, вычисленная при условии, что событие A произошло.
Заметим, что если имеется несколько событий A1, A2, …, An, то их попарная независимость (т.е. независимость любых двух событий Ai и Aj, i≠j) еще не означает их независимости в совокупности.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место
P(AB) = P(A)×P(B/A) = P(B)×P(A/B).