§14. Потенциальная энергия взаимодействующих частиц

Р ассмотрим систему, состоящую из двух взаимодействующих частиц. Обозначим силу, с которой вторая частица действует на первую, символом F₁₂, а силу, с которой первая частица действует на вторую, символом F₂₁ (см. рис. 14.1). По третьему закону Ньютона F₁₂ = –F₂₁. Эти силы направлены вдоль прямой, соединяющей частицы. Поэтому силу F₁₂ можно представить в виде: F₁₂ = F₁₂e₁₂.

В некоторой инерциальной системе отсчета положение первой частицы определяется радиус-вектором r₁ , а второй – r₂.

При элементарном смещении частиц от заданного положения силы взаимодействия совершат работу A, равную:

F₁₂dr₁ + F₂₁dr₂ = F₁₂(dr₁ – dr₂) = –F₁₂d(r₂ – r₁) = –F₁₂dr₁₂ =–F₁₂dr₁₂

Следовательно, dA = –F₁₂dr₁₂ = –dU_вз

Выражение F₁₂dr₁₂ можно рассматривать как приращение некоторой функции U_вз(r). Эта функция и представляет собой потенциальную энергию взаимодействия, которая зависит только от взаимного расположения частиц. Вид этой функции можно найти, зная силу F₁₂ взаимодействия частиц. Тогда (U_вз)₂ – (U_вз)₁ = – .

Распространим полученный результат на систему, состоящую из N частиц.

Для системы, состоящей N из частиц, потенциальная энергия взаимодействия слагается из потенциальных энергий частиц, взятых попарно: U_вз= .

В этом выражении первое слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия первой частицы с остальными, второе слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия второй частицы с остальными, кроме первой, третье слагаемое – сумма потенциальных энергий взаимодействия третьей частицы с остальными, кроме первой и второй и т.д. Так как (U_ik) = (U_ki), энергию взаимодействия можно представить в виде: . (14.1)

В этой сумме индексы i и k пробегают значения от 1 до N, причем ik. Коэффициент 1/2 связан с тем, что энергия каждой пары учитывается дважды, как (U_ik) и как (U_ki).

Пример

Вычислить потенциальную энергию взаимодействия трех зарядов q₁, q₂ и q₃, которые расположены в вершинах правильного треугольника со стороной а.

Решение

Потенциальная энергия взаимодействия будет равна (14.1):

U_вз = 1/2 (U₁₂ + U₁₃ + U₂₁ + U₂₃ + U₃₂ + U₃₁) = (U₁₂ + U₁₃ + U₂₃), так как (U_ik) = (U_ki).

Сила взаимодействия между зарядами q_i и q_k определяется законом Кулона: . Эта сила, так же как и сила гравитации, убывает обратно квадрату расстояния между частицами. Следовательно (см. вывод (13.13)), потенциальная энергия двух взаимодействующих зарядов будет равна: .

Окончательно получим: U_вз =k/a (q₁q₂ + q₁q₃ + q₂q₃).

Очевидно, что энергия взаимодействия зависит только от взаимного расположения частиц системы или, как говорят, от ее конфигурации. При отделении одной части системы от другой, нарушается ее конфигурация. Поэтому потенциальная энергия взаимодействия не является аддитивной величиной, т.е. потенциальная энергия взаимодействия всей системы не равна потенциальной энергии взаимодействия отдельных частей системы. Поэтому эту энергию взаимодействия системы выделили в отдельный вид потенциальной энергии.