2.2 Понятие процесса

2.2.1 Определение процесса

Сначала дадим упрощенное понятие процесса как упорядоченной череды состояний.

Упорядочивание означает, что каждому состоянию приписывается некоторый индекс. Наиболее удобные индексы – это натуральные числа 1, 2, 3, … или возрастающие/убывающие моменты времени. Такие индексы также называют параметром состояния.

Этот параметр обладает следующими фундаментальными свойствами:

а) он одномерен;

б) он монотонен.

Полное определение процесса: Процессом в системе называется такая смена состояний системы, что любое состояние однозначно соответствует некоторой величине, называемой параметром процесса.

Обозначим параметр процесса через t , а состояние системы через X_t = {x_1t, x_2t, , x_nt } , где x_i , i = 1,2, … , n , – отдельные характеристики, а x_it – конкретное значение этих характеристик с параметром t . Будем иметь процесс как переход от начального состояния X_o в текущее состояние X_t :

X_o → X_t .

Самые типичные процессы – механические (перемещение тел), в первую очередь, движение. Другие типы: химические (включающие изменения состава молекул); физико-химические (например, варка стали, горение): биологические (например, развитие растений, болезнь); финансово-экономические (например, проведение заказа, функционирование банка, работа магазина); социальные (например, отношения между людьми, деятельность общественных организаций, рост/падение популярности). В любом случае речь идет об изменении (смене) состояний.

2.3 Описание процесса

2.3.1 Описание процесса в виде функций и уравнений

Функцией называется правило сопоставления значению некоторой переменной значения другой переменной. При этом первая переменная называется аргументом функции, вторая – значением функции.

Функция – наиболее употребительный способ описания процессов. Известно три способа задания функции:

Аналитический (в виде формулы).

Графический (в виде графика).

Табличный (в виде таблицы).

Все три способа имеют свои преимущества и недостатки. При графическом способе традиционно аргумент располагается на оси x , значение функции – на оси y. Вместо слов «при значении аргумента x » принято говорить «в точке x ».

Функция может быть разрывной, может для отдельных аргументов и даже промежутков не существовать (быть не определенной), может иметь изломы. Если для данного аргумента x существует более одного значения функции, то говорят, что функция многозначна (имеет несколько ветвей).

Уравнением называется равенство, содержащее неизвестные величины.

Уравнение, содержащее одну неизвестную величину, в общем виде записывается как (вид функции f считается известной):

f (x) = 0.

Нахождение величин x = x_R, удовлетворяющих этому уравнению, называется решением уравнения. Сами величины x_R называются корнями уравнения.

Эта операция может быть выполнена тождественными преобразованиями с уравнением f (x) = 0. Решением в этом случае будет формула.

Отнюдь не всегда уравнение может быть решено в формулах. Тогда прибегают к численному решению.

Основная идея численного решения: если вычислить функцию f (x) в точках x₁ и x₂ и сравнить значения, то возникает идея двигаться по оси x к корню в ту сторону, в которую уменьшается значение функции. Все остальное в численных методах – это немалое количество ухищрений, как искать корень быстрее и надежнее.

Однократное применение численного метода даст один корень в виде одного конкретного числа. Большинство численных методов требует для начала процедуры нахождения корня задать приближение – значение переменной x₀, с которого начнется процесс нахождения корня. Обычно получается корень, ближайший к точке x₀. Если у уравнения несколько корней, то надо начинать с разных приближений. Определение того, сколько у данного уравнения корней – сложная задача. Хороший способ начала решения задачи – построение графика функции y=f (x). График даст представление о поведении функции в целом и одновременно позволить определить точки для начала спуска к каждому корню.

Рассмотрим запись

F(x, y) = 0 .

Ее можно трактовать как одно уравнение с двумя неизвестными.

Но эта запись может иметь и другую трактовку. Ее можно рассмотреть как неявное задание функции y в зависимости от x . Для этого в записи F(x, y) задается значение x и находится значение величины y, дающее равенство F(x, y) = 0 (корень уравнения с одним неизвестным). Сделав это для набора x, имеем соответствие массивов

[ x ] → [ y ] .

По определению это и есть функция. По массиву [ y ] можно построить график, составит таблицу.

Соотношение F(x, y) = 0 для задания неявной функции принято называть уравнением. Таким образом, изложенный выше метод является заданием функции при помощи уравнения. Аналогично можно понимать соотношение (уравнение) F(x, y, z) = 0 как неявное задание функции двух переменных z = Φ(x, y) .

В записи F(x, y) = 0 переменные x и y равноправны. Это позволяет выбирать – что выгодней рассмотреть y как функцию величины x или x как функцию величины y .