16. Смешанное произведение.

Рассмотрим произведение векторов а,b и с, составленное следующим образом: (axb)*c. Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а их результат - скалярно на третий вектор. Такое произведение называется векторноскалярным, или смешанным, произведением трех векторов. Смешанное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «плюс», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «минус», если они образуют левую тройку.

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей, т.е. (axb)*c=(bxc)*a=(cxa)*b .

2. Смешанное произведение не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения, т.е. (axb)*c=a*(bxc).

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене мест любых двух векторов-сомножителей, т.е. abc =-acb , abc =-bac , abc=-cba .

4. Смешанное произведение ненулевых векторов a,b и c равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты.

Смешанное произведение векторов равно определителю третьего порядка, составленному из координат перемножаемых векторов.

|a_x a_y a_z|

abc=|b_x b_y b_z|

|c_x c_y c_z|

Объем ориентированного параллелепипеда.

V =|abc|.

17. Декартова система координат.

Декартова (прямоугольная) система координат задается двумя взаимно перпендикулярными прямыми — осями, на каждой из которых выбрано положительное направление и задан единичный (масштабный) отрезок. Единицу мас­штаба обычно берут одинаковой для обеих осей. Эти оси называют осями координат, точку их пересечения  O - началом координат. Одну из осей называют осью абсцисс (осью Ox), другую — осью ординат (осью Oy). На рисунках ось абсцисс обычно располагают горизонтально и направленной слева направо, а ось ординат - вертикально и направленной снизу вверх. Оси координат делят плоскость на четыре области — четверти.

Полярная система координат.

Полярная система координат задается точкой O, на­зываемой полюсом, лучом Op, называемым полярной осью, и единичным вектором того же направления, что и луч Op. Возьмем на плоскости точку М, не совпадающую с О. Положение точки М определяется двумя числами: ее расстоянием r от полюса О и углом φ, образован­ным отрезком ОМ с полярной осью (отсчет углов ведет­ся в направлении, противоположном движению часовой стрелки). Числа r и φ называются полярными координатами точки М, пишут М(r;φ), при этом r называют полярным радиусом, φ — полярным углом.

Преобразование системы координат.

Переход от одной системы координат в какую-либо другую называется преобразованием системы координат.

Параллельный перенос осей координат:

Под параллельным переносом осей координат понимают переход от систе­мы координат Оху к новой системе О₁х₁у₁, при котором меняется поло­жение начала координат, а направление осей и масштаб остаются неиз­менными.

Формулы для нахождения старых координат по известным новым и наоборот:

{x=x₀+x’,

{y=y₀+y’,

где x,y – старые координаты; x’,y’ – новые координаты; x₀,y₀ – разность между старыми координатами и новыми (x-x₀;y-y₀).

Поворот осей координат:

Под поворотом осей координат понимают такое преобразование координат, при котором обе оси поворачиваются на один и тот же угол, а начало координат и масштаб остаются неизменными.

Формулы поворота осей:

{x=x’*cosα-y’*sinα,

{y=x’*sinα+y’*cosα,

Формулы параллельного переноса осей и последующего их поворота:

{ x=x’*cosα-y’*sinα+x₀,

{ y=x’*sinα+y’*cosα+y₀.