5. Определители. Минор и алгебраическое дополнение.

Минор M_ij элемента a_ij  это определитель, который получается из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится элемент a_ij.

Алгебраическое дополнение A_ij элемента a_ij  это минор M_ij, взятый со знаком (1)^i+j, то есть A_ij = (1)^i+jM_ij.

Разложение определителя по элементам строки (столбца).

Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов некоторой i-й его строки (j-го столбца) на их алгебраические дополнения: det A = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 +...+a_inA_in (det A = a_1jA_1j + a_2jA_2j + . . . + a_njA_nj).

6. Матрицы. Нахождение ранга матрицы.

Ранг матрицы A - наибольший из порядков отличных от нуля миноров данной матрицы A. Другими словами, если в матрице A имеется минор k-го порядка, не равный нулю, а все её миноры (k + 1)-го порядка, окаймляющие этот минор (т.е. содержащие минор k-го порядка целиком внутри себя), если они определены, равны нулю, то ранг матрицы есть rg (A) = k.

Вычисление ранга матрицы методом окаймления миноров:

1)Найти ненулевой элемент матрицы (если такого нет, то ранг матрицы равен нулю).

2)Вычислить миноры второго порядка, которые окаймляют выбранный элемент.

3)Если среди вычисленных миноров второго порядка имеется отличный от нуля, рассмотреть все миноры третьего порядка, окаймляющие какой-нибудь минор второго порядка, не равный нулю. Продолжать так до тех пор, пока все миноры, окаймляющие ненулевой минор k-го порядка, не будут равны нулю. В этом случае ранг матрицы равен r(A) = k.

Свойства ранга матрицы:

1) При транспонировании матрицы её ранг не меняется.

2) Если вычеркнуть из матрицы нулевую строку (нулевой столбец), то ранг матрицы не изменится.

3) Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Равенство строчного и столбцового рангов матрицы.

Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы.

7. Определитель n-го порядка.

Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов некоторой i-й его строки на их алгебраические дополнения: det A=a_i1A_i1+a_i2A_i2+...+ a_inA_in.

Методы вычисления определителей n-го порядка.

1. Метод приведения к треугольному виду. Этот метод заключается в преобразовании определителя к такому виду, где все элементы, лежащие по одну сторону одной из диагоналей, равны нулю. Затем находится определитель путем перемножения элементов главной (побочной) диагонали.

2. Разложение определителя по строке (столбцу).

3. Теорема Лапласа

4. Метод выделения линейных множителей. Определитель рассматривается как многочлен от одной или нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают, что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая отдельные члены определителя с членами произведения линейных множителей, находят частное от деления определителя на это произведение и тем самым находят выражение определителя.

5. Метод выделения линейных множителей. Определитель рассматривается как многочлен от одной или нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают, что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая отдельные члены определителя с членами произведения линейных множителей, находят частное от деления определителя на это произведение и тем самым находят выражение определителя.

6. Метод выделения линейных множителей. Определитель рассматривается как многочлен от одной или нескольких входящих в него букв. Преобразуя его, обнаруживают, что он делится на ряд линейных множителей, а значит (если эти множители взаимно просты) и на их произведение. Сравнивая отдельные члены определителя с членами произведения линейных множителей, находят частное от деления определителя на это произведение и тем самым находят выражение определителя. Таким образом, вычисление определителя D′ сводится к вычислению определителя D и суммы его алгебраических дополнений. Этот метод применяют в тех случаях, когда путём изменения всех элементов определителя на одно и то же число он приводится к такому виду, в котором легко сосчитать алгебраические дополнения всех элементов.

7. Метод рекуррентных соотношений. Этот метод заключается в том, что данный определитель выражают, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу, через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное равенство называется рекуррентным соотношением.