12. Векторы.

Вектор - это направленный прямолинейный отрезок, т. е. отрезок, имеющий определенную длину и определенное направление. Если А — начало вектора, а В - его конец, то вектор обозначается символом АВ или а. Вектор ВА (у него начало в точке В, а конец в точке A) называется противоположным вектору АВ. Вектор, противоположный вектору а , обозначается -а .

Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора a , называется ортом вектора a и обозначается a °.

Длиной или модулем вектора АВ называется длина отрезка и обозначается |АВ|. Вектор, длина которого равна нулю, называется нулевым вектором и обозначается 0 . Нулевой вектор направления не имеет.

Условия коллинеарности и компланарности векторов.

Векторы а и b называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают a ||b .

Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарные, то такие векторы компланарны.

Линейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения и вычитания векторов, а также умножение вектора на число.

Существует 2 правила сложения векторов: треугольника и параллелограмма.

Под разностью векторов а и b понимается вектор c =a-b такой, что b+c= а. Можно вычитать векторы по правилу: a-b=a+(-b), т.е. вычитание векторов заменить сложением вектора a с вектором, противоположным вектору b.

Произведением вектора a на скаляр (число) λ  называется вектор λ*a (или a*λ), который имеет длину    |λ|*|a|, коллинеарен вектору a, имеет направление вектора a, если λ>0 и противоположное направление, если λ<0. Из определения произведения вектора на число следуют свойства этого произведения:

1) Если b=λ*a, то b|| a. Наоборот, если b ||а, (а≠0 ), то при некотором λ  верно равенство b = λa ;

2) Всегда а = |a| *а ^о, т. е. каждый вектор равен произведению его модуля на орт.

Линейные операции над векторами обладают следующими свойствами:

1.  a+b=b+a

2.  (a+b) +c=a + (b +c)

3.  λ1 * (λ2 *а) =λ1 *λ2 *а

4.  (λ1 +λ2) *а =λ1 *а +λ2 *а

5.  λ * (а +b) =λ *а+λ *b.

Линейная зависимость векторов.

Если вектор a представить в виде: a=α₁a₁+ α₂a₂+…+ α_na_n то говорят, что данный вектор разложен по векторам a₁,…,a_n, при этом α₁,… ,α_n называют коэффициентом разложения. Вектора a₁, … ,a_n называют линейно зависимыми, если существует нетривиальная (ненулевая) система векторов, при которых линейная комбинация этих векторов равна 0 вектору, т.е. a₁α₁+ α₂a₂+…+α_na_n=0-вектору <=> α₁²+α₂²+…+α_n² >0.

Вектора a₁, … ,a_n линейно независимы, если существует тривиальная система векторов, при которых их линейные комбинации равны 0, т.е.a₁α₁+α₂a₂+…+α_na_n=0-вектору <=> α₁=α₂=…=α_n =0.

Базис системы векторов. Базис системы векторов – упорядоченная система линейно независимых векторов a₁, … ,a_n из векторного пространства, такой, что любой вектор пространства линейно выражается через данный базис (система векторов).