13. Векторы. Разложение вектора по ортам координатных осей.

 Разложение вектора по ортам координатных осей – это формула a=a_xi+a_yj+a_zk , где числа a_x, a_y, a_z называются координатами вектора a, т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство часто записывают в символическом виде: a = (a_x;a_y;a_z).

Модуль вектора.

Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на оси координат.

Направляющие косинусы.

Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат. Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора. Если вектор имеет длину 1, то его направляющие косинусы равны его координатам.

a_x= |a|* cosα; a_y=|a|* cosβ; a_z=|a|* cosγ, где α, β, γ – углы между вектором a и осями Ox, Oy, Oz соответственно.

14. Скалярное произведение векторов.

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Обозначается ab, а*b или (а,b).

Также, скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором: ab=|a|*пр_ab=|b|*пр_ba.

Свойства:

1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

2. Скалярное произведение обладает сочетательным свойством отно­сительно скалярного множителя: (λa)b = λ(аb).

3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством: a(b+c)=ab+ас.

4. Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины: a²= |a|².

5. Если векторы а и b (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т.е. если a┴b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а≠0≠b, то a┴b.

Выражение скалярного произведения через координаты.

Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат, т.е. a*b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z.

Угол между векторами.

Определение угла φ между ненулевыми векторами a=(a_x; a_y; a_z) и b=( b_х; b_у; b_z): cosφ=(a*b)/(|a|*|b|).

15. Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, который:

1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. c┴a и  c┴b;

2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах a и b как на сторонах, т.е. |c|=|a|*|b|*sinφ, где φ – угол между векторами a и b;

3.Векторы a, b и c образуют правую тройку.

Векторное произведение обозначается axb или [a,b].

Свойства векторного произведения:

1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. axb = - (bxa);

2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. λ(axb) = (λa)xb = ax(λb);

3. Два ненулевых вектора a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т.е. a||b <=>axb=0;

4. Векторное произведение обладает распределительным свойством:

(a+b)xc= axc+bxc.

Выражение векторного произведения через координаты.

axb= |a_y a_z|*i - |a_x a_z|*j + |a_y a_z|*k, или еще короче:

|b_y b_z| |b_x b_z| |b_y b_z|

|i j k|

axb=|a_x a_y a_z|

|b_x b_y b_z|

Площадь ориентированного параллелограмма.

S _пар = |ахb|=|a|*|b|*sinα