58.Начала статистической физики: флуктуации.
Говорят, что величина флуктуирует, если ее значение колеблется около среднего. В статистической физике и термодинамике обычно имеются в виду флуктуации внутренних параметров в состоянии термодинамического равновесия.
Мерой флуктуаций является стандартное отклонение от среднего значения, которое определено равенством для дискретных величин:
При вычислении этой величины усреднение по времени можно заменить усреднением по ансамблю.
Стандартное отклонение растет медленнее, чем общее число частиц в системе, в то время как среднее растет пропорционально числу частиц в системе. Следовательно, относительное стандартное отклонение убывает сростом числа частиц в системе.
Расчет относительной величины флуктуации с помощью распределения Пуассона дает величину:
.
Отметим, что относительная роль флуктуаций возрастает с уменьшением области, в которой эти флуктуации рассматриваются. Если область стремится к величине объема системы, то число частиц в этой области стремится к числу частиц системы.
Так как флуктуации
уменьшаются как
,
следовательно, с ростом числа частиц в
макросистемах флуктуации становятся
ничтожно малыми.
Поэтому поведение системы большого числа частиц можно описывать с помощью средних величин, характеризующих систему.
С 59 ПО 63 НЕ РАЗДЕЛИЛА ИЛИ НЕ НАШЛА!
59.Классическая статистика Максвелла-Больцмана: подсчет числа состояний.
60.Классическая статистика Максвелла-Больцмана: вывод функции распределения Больцмана (дискретное распределение).
61.Распределение Максвелла-Больцмана.
62.Распределение
Максвелла по проекциям скоростей
(определение константы
из условия нормировки).
63.Распределение Максвелла по абсолютному значению скорости.
64.Характерные скорости распределения Максвелла: средняя арифметическая скорость.
Средняя арифметическая скорость:
выделим для замены
переменной
сделаем замену
переменной
и учтем, значение
табличного интеграла:
,
,
получим после сокращения констант:
,
где
- постоянная Больцмана,
- масса молекулы, преобразуем, умножив
числитель и знаменатель дроби на число
Авогадро:
,
где
- молярная масса компоненты системы.
Результат:
- средняя арифметическая скорость
движения молекул идеального газа.
65.Характерные скорости распределения Максвелла: средняя квадратичная скорость.
Средняя квадратичная скорость:
,
сделаем замену переменной:
,
тогда
,
,
отсюда
,
,
разделим переменные и найдем связь
между
и
,
подставим полученное значение в
дифференциал:
, 
.
Подставим все в интеграл:
преобразуем,
,
учтем значение табличного интеграла:
,
таким образом
- средняя
квадратичная скорость.
66.Характерные скорости распределения Максвелла: наиболее вероятная скорость.
Наиболее вероятная скорость:
Наиболее вероятная скорость – это скорость, соответствующая максимуму кривой распределения молекул по скоростям, т.е. должно выполнятся условие:
обозначим константу
и найдем производную произведения
так как величина
,
то должно выполняться условие:
, 
, 
- скорость наиболее
вероятная.
67. Подсчет числа молекул скорости, которых лежат в заданном диапазоне.
П
ри
комнатной температуре средняя
арифметическая скорость движения
молекул:
,
а характеристические скорости водорода
в 4 раза больше.
Как посчитать число молекул, скорости которых лежат в заданном диапазоне?
Если
- число молекул в единице объема, то
- число молекул, скорости которых
распределены в интервале от
до
равно:
,
если учесть что
,
и введя переменные
,
,
,
то
- такой вид более
нагляден, для анализа формы кривой
распределения Максвелла. В книгах
имеются таблицы интеграла:
с их помощью упрощаются вычисления
величины
.
Из таблиц в частности находим, что:
; 
;
Т.о. большая часть молекул имеет скорости в сравнительно небольшом интервале около наиболее вероятной, а молекул со скоростями вне этого интервала сравнительно мало.