1.1.2 Полуквантовое описание

Выход из создавшегося затруднения был предложен известным немецким физиком Максом Планком (1900г.). Он предлагает гипотезу, согласно которой, электрон в стенке полости, заполненной равновесным излучением, не может иметь произвольную энергию. Эта энергия, по гипотезе Планка, пробегает ряд вполне определенных значений, кратных минимальному, т.е.

n = 0,1,2,3…, (1.1.2.1)

где ε – минимальное ненулевое значение энергии (квант Планка). Здесь впервые в теоретической физике появляется гипотеза квантования, гипотеза о том, что физические величины (впоследствии мы увидим, что это касается не только энергии) регламентированы по величине – квантованы – а не пробегают непрерывный ряд значений. Классически для этого нет никаких оснований. Поэтому нет смысла пытаться объяснить, обосновать эту гипотезу (на то она и гипотеза). Единственное обоснование ее в том, что она позволяет снять все затруднения в теоретическом описании закономерностей равновесного излучения.

Итак, не задумываясь о классической правомерности не классической по существу гипотезы Планка, введем ее в развитую выше теорию равновесного излучения. Для этого при вычислении среднего значения энергии электрона, согласно (1.1.1.33), заменим интегрирование суммированием по дозволенным гипотезой Планка значениям энергии:

(1.1.2.2)

Возникшая здесь сумма представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с коэффициентом и первым членом . В итоге имеем

(1.1.2.3)

Подставляя этот результат в (1.1.1.31), получаем

(1.1.2.4)

Здесь по-прежнему остается неопределенным планковский квант энергии ε. Требуя соответствия (1.1.2.4) термодинамическому закону Вина (1.1.1.35), необходимо дополнить гипотезу Планка количественным определением кванта энергии :

(1.1.2.5)

Вместе с этим определением вводится новая константа, известная как постоянная Планка. Совокупность выражений (1.1.2.4) и (1.1.2.5) приводит к известной формуле Планка (распределению Планка)

(1.1.2.6)

Для малых частот, когда , экспоненту здесь можно записать в виде ряда Тейлора. Тогда имеем

(1.1.2.7)

т.е. в области малых частот формула Планка переходит в формулу Рэлея–Джинса, и, следовательно, при малых частотах она приводит к результатам, не худшим, чем получаемые на основе формулы Рэлея– Джинса.

Для больших частот, когда , в знаменателе (1.1.2.7) можно пренебречь единицей по сравнению с экспонентой, и в результате имеем

(1.1.2.8)

т.е. стремится к нулю с ростом частоты, как это имеет место в экспериментальной ситуации.

Более того, как следует из сравнения с экспериментальными данными, формула (1.1.2.6) согласуется с ними на всем доступном для измерений интервале частот. Кроме того, распределение Планка естественным образом объясняет закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина.

В самом деле, вычисляя плотность энергии равновесного излучения в соответствии с (1.1.2.6), имеем :

(1.1.2.9)

Учитывая, что несобственный интеграл в этом выражении равен , окончательно получаем закон Стефана–Больцмана :

(1.1.2.10)

причем константа выражается через другие известные постоянные и вновь введенную постоянную Планка.

Для того, чтобы прийти к объяснению закона смещения Вина, перейдем от (1.1.2.6) к спектральной плотности энергии равновесного излучения в терминах длин волн λ (количество энергии излучения в единице объема при длине волны λ на единичный интервал длин волн). Это проще всего сделать, исходя из полной плотности энергии излучения :

(1.1.2.11)

Таким образом, имеем

(1.1.2.12)

Максимум этой функции (экстремум) находим, приравнивая производную к нулю :

(1.1.2.13)

Нетрудно убедиться, что максимум функции связан с обращением в нуль последнего множителя в последнем выражении. Вводя новую переменную, имеем

(1.1.2.14)

или, что то же самое,

(1.1.2.15)

Это трансцендентное уравнение может быть решено лишь приближенно. В результате имеем

(1.1.2.16)

откуда приходим к закону смещения Вина :

(1.1.2.17)

Как и в случае закона Стефана-Больцмана, получен не только сам закон (1.1.2.17), но и выражение константы через другие постоянные, в том числе постоянную Планка. Таким образом, гипотеза Планка объясняет все закономерности равновесного излучения. Из данного рассмотрения естественным образом вытекает возможность экспериментального определения постоянных Планка и Больцмана. В самом деле, в законах (1.1.2.10) и (1.1.2.17) фигурируют две константы и , являющиеся функциями и :

(1.1.2.18)

Определив из закона (1.1.2.10) и из – закона (1.1.2.17) экспериментально, и решая уравнение (1.1.2.18) относительно и , определяем последние :

(1.1.2.19)

Численные значения перечисленных констант следующие:

В заключение укажем, что в связи с успехом гипотезы Планка, мы должны иметь в будущей квантовой теории естественное объяснение квантования физических величин.