Вопрос 22. Вероятность попадания нормально-распределенной случайной величины в заданный интервал. Вероятность заданного отклонения. Правило трех сигм.

Вероятность того, что X примет значение, принадлежащее интервалу ( ; ):

Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превысит , равна:

Правило трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

Вопрос 23. Специальные законы распределения.

χ2 - распределение Пирсона. t – распределение Стьюдента. F – распределение Фишера-Снекедора.

1) Распределение Пирсона

2) Распределение Стьюдента При этом n называется «числом степеней свободы» распр. Стьюдента

3) Распределение Фишера При этом (k1, k2) – «числа степеней свободы» распределения Фишера

Вопрос 24. Функции одного случайного аргумента.

Случайную величину Y, которая каждому элементарному исходу w ставит в соответствие число Y (w)=Y (X (w)) называют функцией Y(X) (скалярной) от скалярной случайной величины X.

Если X – дискретная случайная величина и функция монотонна, то значениям Х соответствую значения Y и их вероятности одинаковы. P (Y = yi) = P (Y = xi)

Если Х – непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(x), и если y=(x) – дифференц. функция, то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят: g(y) = f [ (y)]* [ ‘ (y)]

Вопрос 25. Функция двух случайных аргументов.

Пусть x∈R, и область D_x∈R² состоит из точек (x1,x2) таких, что g(x1,x2) < x . Тогда случайная величина имеет ф-ию распределения:

Далее предполагается, что случайные величины ξ1 и ξ2 независимы. В этом случае распределение величины g(x1,x2) полностью определяется частными распределениями величин ξ1и ξ2.

Вопрос 26. Сущность закона больших чисел.

Пусть задана бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n ,... , для которых существуют матем. ожидание Mξi = a и дисперсия Dξi = σ². Для любого ε>0

Суть закона больших чисел состоит в том, что при возрастании числа слагаемых среднее арифметическое этих слагаемых мало отличается от математического ожидания a.

Вопрос 27. Лемма Чебышева.

Если все значения случайной величины X неотрицательны, то вероятность того, что случайная величина X будет не меньше некоторого числа t>0 не больше, чем . Следовательно:

Вопрос 28. Неравенство Чебышева.

Вероятность того, что абсолютное отклонение случайной величины X от ее математич. ожидания меньше некоторого числа , не меньше чем . Следовательно:

Вопрос 29. Теорема Чебышева и следствия из нее.

Если попарно-независимые случайные величины имеют конечные математические ожидания дисперсии каждой из случайной величины не превосходят постоянного числа С, то среднее арифм. этих величин сходится по вероятности к среднему арифметич. их математич. Ожиданий. Если то:

Следствие:

Вопрос 30. Теорема Бернулли и теорема Пуассона.

Теорема Бернулли: частость события в n не зависимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти в вероятностью p при неогранич. увеличении p, сходятся по вер-ти p этого события в отдельном испытании.

Теорема Пуассона: частость события в n не зависимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти в вероятностями p1,p2,pn при неограниченном увеличении p сходятся по вер-ти к среднему арифметич. вер-ти события в каждом испытании.