Вопрос 7. Формула Бернулли. Наивероятнейшее число наступления событий в независимых испытаниях. Формула Пуассона.

Теорема Бернулли: Если Вероятность p наступления события Α в каждом испытании постоянна, то вероятность того, что событие A наступит k раз в n независимых испытаниях, равна:

Наивероятнейшее число: Число k0 называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. np-q≤k0≤np+p

Форума Пуассона:

Вопрос 8. Локальная и интегральная формулы Лапласа.

Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна P(0 < р < 1), событие наступит ровно k раз, приближенно равна:

Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна P(0 < р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна P(k1;k2)=Φ(x'') - Φ(x')

Вопрос 9. Вероятность отклонения относительной частоты от постоянной вероятности.

Разность, взятая по модулю,

Нужно определить вероятность того, что заданное отклонение не превзойдет величину .

На основании интегральной теоремы Лапласа:

Вопрос 10. Случайные величины и их виды. Дискретная случайная величина.

Случайной называется величина, которая в результате испытания может принять то или иное возможное значение, но обязательно одно. Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

– Если множество возможных значений случайной величины конечно или образуют бесконечную числовую последовательность, то такая случайная величина называется дискретной.

– Случайная величина, множество значений которой заполняет сплошь некоторый числовой промежуток, называется непрерывной.

– Если случайная величина не относится ни к дискретным, ни к непрерывным случайным величинам, то ее называют смешанной.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями; его можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Вопрос 11. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M(X) = x1 p1+ x2 p2+...+ xn pn

Математическое ожидание обладает следующими свойствами:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: M(C) = C.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: M(CX) = CM(X).

3. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: M(X+Y+Z) = M(X)+M(Y)+M(Z).

4. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M(X*Y*Z) = M(X)*M(Y)*M(Z).

Вопрос 12. Действия над случайными величинами.

а) Суммой случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X+Y, которая принимает все значения  вида z_ij=x_i+y_j(i=1,2,..n; j=1,2,...,m) с вероятностями p_ij

Если случайные величины X и Y независимые, то p_ij= p_i+ q_j

Аналогично определяется разность и произведение случайных величин.

б) Разностью ( произведением) случайных величин X и Y называется новая случайная величина Z=X-Y (Z=XY), которая принимает все значения вида z_ij=x_i-y_j  (z_ij=x_iy_j) с такими же вероятностями, с какими случайная величина Z=X+Y принимает соответствующие значения, т.е. p_ij= p_i+ q_j.

в) Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется новая случайная величина Z=kX, которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные произведениям значений случайной величины Х на k, т.е. =x_i²

г) Квадратом случайной величины Х называется новая случайная величина Z=X², которая с теми же вероятностями, что и Х, принимает значения, равные квадратам значений случайной величины Х, т.е. z_i=x_i²