Вопрос 1. Предмет и основные понятия теории вероятностей.

Т.В. – математическая наука, изучающая закономерности случайных процессов. Предметом теории вероятностей являются события, которые разделяют на 3 вида: достоверные, невозможные и случайные.

- Достоверным называется событие, которое обязательно произойдет.

- Невозможным называют событие, которое не может произойти.

- Случайным называют событие, которое может произойти, а может и не произойти.

Осуществление комплекса условий называется опытом (испытанием). Результат опыта – событие.

- 2 события совместны, если появление 1 из них не исключает появление другого. Иначе – несовместные.

- События называют единственно возможным, если должно произойти хотя бы 1 из них.

Вопрос 2. Определение вероятности события. Свойства вероятности события.

Вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих появлению данного события к общему числу исходов испытания. Р(А) = m/n

- Вер-ть достоверного события = 1, т.к. m=n

- Вер-ть невозможного события = 0, т.к. m=0

- Вер-ть случайного события находится в пределах от 0 до 1 включительно.

Свойства вероятности событий:

0 ≤ P(A) ≤ 1 для любого события A

P(A) + P(Ā) = 1

P(A+B) = P(A) + P(B)

P(AB) = P(A)*P(B) (совместное наступление 2 не ~ событий)

P(A) = 1 – P(Ā₁)*P(Ā₂)* P(Ā_n) (хотя бы 1 событие)

Вопрос 3. Основные формулы комбинаторики.

Существует 3 типа соединений: сочетание, перестановка и размещение.

1) Сочетаниями называются комбинации, состоящие из n элементов по m элементов каждый

2) Размещениями называются комбинации, состоящие из n элементов по m элементов каждый, которые отличаются друг от друга либо составом, либо размещением.

3) Размещениями называются комбинации, состоящие из n элементов по m элементов каждый, которые отличаются друг от друга либо составом, либо размещением.

Вопрос 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В)

В случае, когда события А и В совместны, вер-ть их суммы выражается формулой

Р (А +В) = Р (А) + Р (В) – Р (АВ)

Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна вер-ти одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого: Р(АВ) = Р(А) · Р(В/А), или Р (АВ) = Р(В) · Р(А/В)

Вопрос 5. Теорема наступления хотя бы 1 события и следствие к ней.

Теорема: Вероятность появления хотя бы одного из событий А1 , А2 , ..., Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Р(A) = 1 — q1q2 ... q_n

Следствие: Если события Ai имеют одинаковую вероятность появиться p, то вероятность появления хотя бы 1 события из n не зависимых испытаний: P(A) = 1 - qⁿ где p+q=1

Вопрос 6. Теорема о полной вероятности и формула гипотез Бейеса:

Теорема: Пусть событие А может появиться вместе с одним из попарно несовместных событий, образующих полную группу событий. Тогда вероятность наступления события A определяется по формуле:

P(A) = P(B1) * P_B1(A) + P(B2) * P_B2(A) + … + P(Bn) * P_Bn(A)

Формула Бейеса: