6. Классификация бесконечно малых величин.
Во многих случаях представляет интерес
сравнение БМВ между собой по характеру
их приближения к нулю. При сравнении
двух БМВ
и
рассматривается поведение их отношения
(предполагается, что знаменатель
,
когда БМВ
0).
Установим два соглашения :
Если отношение
(а с ним и
) имеет конечный и отличный от нуля
предел, то БМ
и
считаются величинами одного
порядка.Если отношение само является БМ, т.е. (а отношение - ББ), то БМ считается величиной высшего порядка, по сравнению с БМ , и одновременно БМ будет низшего порядка, чем БМ .
Например. 1. , то по сравнению с ней БМ одного порядка будут БМ
sin
,
tg
,
т.к.
(1-й замечательный предел),
(
<
<1+
).
=
при
.
2. БМ : 1-cos , tg -sin - высшего порядка, чем , т.е. порядок k 2 .
т.к. для k=2 имеем
;
=
;
для k=3 имеем
,
т.к.
1
.
Но может случиться, что отношение двух
БМ не стремятся ни к какому пределу и
не являются ББ. Например, БМ
и БМ
.
Их отношение, равное
,
не имеет предела при
.
В таких случаях говорят: две БМ несравнимы
между собой.
Если БМ
оказывается высшего порядка, чем
,
то этот факт записывают так:
о(
)
, что означает
есть о-малое от
.
Например, можно записать
=
о(
)
,
sin
=
о(
).
Для определения сравнительной характеристики поведения бесконечно малых, выбирают одну из них и называют «основной», скажем .
Уславливаются считать БМ величиной k-го порядка (относительно основной БМ ), если и
(k>0)
,будут величинами одного порядка т.е.
если
имеют конечный и отличный от нуля
предел.
Например, БМ ( ) – БМВ второго порядка, БМ sin - БМВ третьего порядка (см. выше пример2).
Будем называть БМ и эквивалентными ( ~ ), если их разность
=
оказывается величиной высшего порядка,
чем каждая из них:
,
.
Достаточно потребовать, чтобы
была высшего порядка, чем одна из
бесконечно малых, т.к. из того, что
следует, что
,
т.к.
.
Критерий эквивалентности (второе определение эквивалентности БМ):
Для того чтобы две БМ
и
были эквивалентными, необходимо и
достаточно, чтобы
.
Доказательство. Положим
,
тогда
,
но т.к.
,
то
,
т.е.
есть
БМ высшего порядка, чем
и
~
.
Обратно: если дано,
~
,
то
,
тогда
,
т.к.
.
С помощью критерия получим, что при sin ~ , tg ~ , ~ .
Из доказанного вытекает, что две БМ, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой.
Например, при
sin
~
tg
,
ln(1+
)~
,
lna,
е
,
.
Свойство эквивалентности БМ приводит к использованию их при раскрытии неопределенности вида , т.е. при разыскании предела отношения двух БМ. Каждая из них может быть заменена любой эквивалентной ей БМ, не изменив предела.
Пример.
.
Выделение главной части. Пусть БМ
будет k-го порядка относительно
,
т.е.
,
где С
(С
).
Тогда
,
БМ
и С
эквивалентны.
Простейшая БМ С эквивалентная данной БМ называется её главной частью (или главным членом).
Так для
~
,
~
, здесь
является основной БМ.