2. Теоремы о пределах.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Допустим противное. Пусть =a и =b (a<b). Поскольку _, то найдется номер N , что при n>N будет выполняться неравенство и найдется N , что при n>N₂ будет выполняться неравенство . т.е. вне окрестности точки а и вне окрестности точки b должно лежать конечное число членов последовательности {х_n}, что у нас невозможно, т.к. вне окрестности точки а лежит окрестность точки b, в которой бесконечно много членов нашей последовательности. Следовательно, предположение неверно. Теорема доказана.

Теорема 2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Ограниченной последовательностью называется последовательность, у которой все значения содержатся между двумя числами- границами: m х_n . Из определения предела =a имеем ,

т.е. начиная с n>N члены последовательности будут лежать между границами , вне этих границ лежит конечное число N членов. Сделаем границы такими, чтобы между ними лежали все члены последовательности. Для этого примем m = min{a } и M = max{a }.

Другое доказательство. Пусть =а, возьмем . Для такого существует N такое, что при n>N. Вне этой окрестности существует конечное число членов последовательности , следовательно, последовательность ограничена.

Замечание. Отсюда ясно, что последовательность, имеющая конечный предел, не может стремиться к + или к . Это как бы дополнение к теореме 1 о единственности предела.

Теорема 3. Если переменная x_n и a>p (a<q), то и все значения переменной, начиная с некоторого номера будут больше p (меньше q).

Доказательство. Выбрав < ( ), будем иметь (для ) ( ). По определению предела для этого найдется такое N, что при n>N будет . Но p< и , тогда p<x <q.

3. Бесконечно малые величины (или последовательности).

Особый интерес представляет случай, когда переменная х_{n .}

Определение 1. Переменная х_n (или последовательность {х_n}), имеющая своим пределом нуль, называется бесконечно малой величиной (или бесконечно малой последовательностью) или просто бесконечно малой (БМ).

БМ обычно обозначают греческими буквами:

Если в определении предела переменной х_n (или последовательности {х_n}) положить а = 0, то неравенство примет вид для n>N , (т.е. ). Тогда определение БМ можно сформулировать без упоминания слова «предел».

Определение 2. Переменная называется БМ, если она для достаточно больших номеров становится и остается по абсолютной величине меньшей сколь угодно малого наперед заданного числа >0.

Иначе: БМ последовательностью называется такая последовательность, если для >0 можно указать номер N такой, что при n>N выполняется неравенство , т.е. все элементы с номерами > N будут принадлежать

- окрестности.

Переменная величина лишь в процессе своего изменения способна сделаться меньшей произвольно взятого числа . Исключением является неинтересный случай, когда переменная тождественно равна нулю.

Если вернуться к общему случаю переменной х_n , имеющей предел а, то разность будет БМ в силу неравенства < для n>

Обратно: если есть БМ, то .

Это приводит нас к следующему утверждению: для того чтобы переменная имела своим пределом постоянное число а, необходимо и достаточно, чтобы разность между ними была бы БМ.

В связи с этим утверждением можно дать другое определение предела, равносильное первому, используя для БМ определение 2.

Определение 3. Число а называется пределом переменной , если разность между ними есть БМ величина.

Основные свойства бесконечно малых последовательностей ( БМП)

1. Сумма двух БМП есть снова БМП.

Доказательство. Пусть и две БМП. Рассмотрим последовательность . Фиксируем >0. По определению БМП найдутся номера N₁( ) и N₂( ) такие, что при n>N₁ и при n>N₂ . Тогда при n>max(N₁, N₂ )=N

,

Откуда следует, что последовательность есть БМП.

2. Разность двух БМП есть снова БМП.

Доказать самим, используя неравенство .

3. БМП ограничена.

Доказательство. Возьмем . Для такого существует N такое, что при n>N. Положим A=max{1, . Тогда для n=1, 2, 3,…, т.е. последовательность сверху и снизу (или ограничена).

4. Произведение ограниченной последовательности на БМП есть снова БМП (в частности , произведение двух БМП есть снова БМП).

Доказательство. Для доказательства используем равенство . Т.к. ограничена, то , причем, если m , то С= max (m,M).

- БМП. Возьмем за , где , тогда = , т.е. - БМП, что требовалось доказать.

3. Бесконечно большие величины (или последовательности)

Определение. Переменная х_n называется бесконечно большой (ББВ) , если она для достаточно больших значений n становится и остается по абсолютной величине большей сколь угодно большого наперед заданного числа Е>0 : для n>N_Е . Бесконечно большой последовательностью {х_n} (ББП) называется такая последовательность, если для положительного числа Е можно указать номер N такой, что при n>N_Е все х_n с номерами n>N_Е будут больше Е.

Мы имеем дело с переменной величиной х_n , которая в процессе своего изменения способна сделаться большей произвольно взятого числа Е.

Прмером ББ могут служить переменные х_n= n, х_n= -n, х_n= (-1)ⁿ⁺¹n, которые пробегают натуральный ряд чисел со знаком плюс, минус, чередуя знаки.

Особенно важны случаи, когда ББВ х_n для достаточно больших n сохраняет определенный знак (+ ). Тогда, в соответствии со знаком, говорят, что переменная х_n имеет предел + , а также, что она , при этом пишут: =+ , х_n

= , х_n

Очевидно, что ББВ в общем случае характеризуется соотношением .

«Несобственные числа» имеют условный смысл и нужно остерегаться производить над этими числами арифметические действия.

Замечания. Связь между ББВ и БМВ.

1. Если переменная х_n есть ББВ, то её обратная величина будет бмв и = 0.

Доказательство. Возьмем любое >0. По определению ББВ, для Е= найдется такой номер N, что лишь только n>N. Тогда для тех же значений n будет , что и доказывает наше утверждение.

2. Если переменная (не обращается в нуль) является БМВ, то обратная для неё величина будет ББВ и = .

Доказательство аналогичное для замечания 1.

3. Нельзя смешивать постоянное очень маленькое число с БМВ.

Единственным числом, которое рассматривается в качестве БМВ, служит нуль.