6. Свойства определителей.

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число λ.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: |A'| = |A|.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b₁, b₂, …, b_n на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b₁, b₂, …, b_n.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей: |C| = |A| • |B|, где C = A • B; A и B – матрицы n-го порядка.

7. Обратная матрица.

Матрица A^–1 называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева получается единичная матрица:

8. Ранг матрицы.

В матрице A размера m×n вычеркиванием каких-либо строк и столбцов можно вычленить квадратные подматрицы k-го порядка, где k ≤ min (m; n). Определители таких подматриц называются минорами k-го порядка матрицы A.

Рангом матрицы A называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы A обозначается rang A, или r(A).

Из определения следует:

1. ранг матрицы A_m×n не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. r(A) ≤ min (m; n);

2. r(A) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. A=0;

3. для квадратной матрицы n-го порядка r(A) = n тогда и только тогда, когда матрица A – невырожденная.

9. Система линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где a_ij, b_i (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) – произвольные числа, называемые соответственно коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

В более краткой записи с помощью знаков суммирования систему можно записать в виде:

Решением системы называется такая совокупность n чисел (x₁ = k₁, x₂ = k₂, …, x_n = k_n), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет решений.

Теорема Кронекера-Капелли. Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы этой системы.