Теорема Крамера.

Если главный определитель системы n линейных уравнений с n неизвестным не равен 0, то эта система имеет единственное решение, определяемое формулами:

17. Матричн

17.Матричая запись системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений матричным методом.

Пусть дана система трех уравнений с тремя неизвестными

Введем обозначения:

Используя правило умножения матриц систему запишем в эквивалентно-матричном виде

Или коротко А*Х=Н(3) ,где А- заданная матрица, Н- заданный вектор столбец, Х-неизвестный вектор-столбец.

Решением уравнения (3) такой вектор – столбец Х, который обращает уравнение (3) в тождество. Пусть определитель Δ матрицы А не равен 0, тогда система имеет единственное решение, которое находится в формулах Крамера.

18.Обратная матрица.

Дадим другую формулу записи решения уравнения(3). Для этого вспомним определение матрицы.Обратной для матрицы А,называется такая матрица обозначаемая которая удовлетворяет условиям – единичная матрица порядка n.

Можно доказать,что Δ не равен нулю, то обратной для матрицы А, является матрица

– алгебраическое дополнение элемента .

Замечания. Если определитель матрицы А равен нулю, то обратная матрица не существует.Воспользуемся обратной матрицей для решения уравнения(3). Умножаем уравнение на обратную матрицу (А^-1) получаем А^-1*АХ=А^-1Н (6) т.к. А^-1 А=Е , а ЕХ=Х, то из формулы (6) следует Х=А^-1*Н (7)Чтобы убедиться в том, что это выражение для Х действительно является решением уравнения(3).Подставим формулу (7) в (3), получим ,

А*А^-1Н=Н это равенство является тождеством т.е А*А^-1=Е, ЕН=Н. Таким образом если матрица А не равняеся 0, то решение уравн-ия 3) , а следовательно и системы (1) можно записать в матричном виде (7) это решение, то же самое что было полученно по формулам Крамера.Покажем .это равенство(7) можно записать в виде (8)

Х= * Ã Н

Где матрица Ã=

Называется присоединенной к матрице А, т.е. обратная матрица через присоединенную обозначатся так А^-1= Δ Ã (10)

Запишем формулу (8) в развернутом виде

Производится умножение атриц стоящих справа, получим

Приравниваем члены матриц стоящих справа и слева

19.Определение линейного(векторного)пространства. Примеры линейных пространств.

Пространством в матем.понимаемым в самом широком смысле этого слова, понимают множество однородных объектов, например точек, векторов и т.д.

Векторным пространством(линейным) называют множество L , состоящие из элементов любой природы(называемых векторами) в котором для элеметов пределы понятия равенство = и две операции: слохение (результат называется суммой)

= + и умножение на действительное (комплексное) число (результат называется произведением) = L = α и для любых элементов

, , из L и для любых чисел α и β выполняются следующие требования (или аксиомы):

1. + = + коммуникативность сложения

2. + ) + = + ( + ) ассоциативность сложения

3. , удовлетворяющий условию + = для любого вектора

4. Для любого вектора существует противоположный ему вектор (- ) , такой что

+ ( ) =

5. 1* =

6. α(βх) = (αβ) ассоциативность умножения

7. (α+β) = α +β дистрибутивность относительно числового множителя.

8. α ( + ) = α + α дистрибутивность относительно векторного множества

из аксиом следует, что выражения относительно векторов линейного пространства можно преобразовывать по правилам обычной (скалярной) алгебры, т.е. раскрывать скобки, приводить подобные члены.

Сумма векторов х и (-у) будет обозначать х-у и называть разностью резкостью векторов х и у.

Из аксиом так же следует:

Если в определении мы ограничивались действительными числами, то L называется действительным (вещественным) линейным пространством. Если не определенно умножение на любое комплексное число, то линейное пространство L называется комплексное.

Примеры линейных пространств:

1. Линейным пространством является множество всех матриц размера (m x n) c операциями сложения и умножения, операциями сложения и умножения, определенными так, как они определялись в алгебре матриц.

2. Это множество всех многочленов) любых степеней)

3. Множество действительных чисел R , поскольку в нем определены операции сложения и умножения действительного числа на другое действительное число. Если рассматривать множество векторов – направленных отрезков с операциями сложения и умножения на число, то линейными пространствами являются

4. Множество всех векторов пространства

5. Множество всех векторов плоскости

6. Множество всех векторов некоторой прямой.

20.Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису.

Базисом векторного пространства L называется упорядоченная конечная система векторов, если :

1. Она линейна независима.

2. Каждый вектор из L есть линейная комбинация векторов этой системы.

Если - это базис векторного пространства, то любой вектор этого пространства может быть представлен единственным образом в виде линейной комбинации базисных векторов

, при это числа называются координатами вектора в данном базисе. Такое представление вектора называется разложение вектора по данному базису.

21. Определения геометрического вектора и его модуля. Сумма, разность векторов. Их свойства. Произведение вектора на число. Коллинеарные векторы.

Геометрический вектор – это направленный отрезок. Для вектора – точка А – начало, точка В – конец вектора. Определение 3. Модуль вектора – это длина отрезка AB. Суммой двух векторов и является диагональ параллелограмма, построенного на этих векторах, исходящая из общей точки их приложения (правило параллелограмма). Суммой трех векторов , , называется диагональ параллелепипеда, построенного на этих векторах (правило параллелепипеда). Под разностью векторов и понимают вектор = – такой, что + = .В параллелограмме – это другая диагональ СД

Свойства умножения вектора на число.1о. (k + l) = k + l. k( + ) = k + k. 2o. k(l) = (kl). 3o. 1× = , (–1) × = – , 0 × = .

Два вектора и называются коллинеарными, если они расположены на параллельных прямых или на одной прямой. Нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Теорема 1. Два ненулевых вектора и коллинеарны, Û когда они пропорциональны т.е. = k, k – скаляр.

22. Проекция вектора на вектор. Ее свойства.

проекция вектора А на вектор В = (A,B)/|B| где (A,B) скалярное произведение векторов А и В

|B| - длина вектора В если A=(a1,a2), B=(b1,b2) тогда (A,B)=a1*b1+a2*b2 |B|=sqrt(b1^2+b2^2)

23. Геометрический смысл координат вектора в декартовом базисе. Прямоугольные декартовы координаты. Разложение вектора в декартовом базисе.

Вектор в декартовой системе координат

Определение. Вектором называется упорядоченная пара точек (начало вектора и его конец). Вектор в координатном пространстве Oxyz, может быть представлен в виде, где тройка называется координатами вектора. Векторы – единичные векторы (орты), направленные в положительную сторону координатных осей Ox, Oy и Oz, соответственно. Длиной (модулем) вектора называется число. Главная особеннность декартовых базисов состоит в том, что координаты любого вектора в этом базисе равны проекциям этого вектора на три взаимно ортогональных направления, определяемых ортами. Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная декартова система координат.Определение 1. Декартова система координат {0; Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная ; Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная } на плоскости называется прямоугольной, если Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная и Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная - ортогональные единичные векторы.

Аналогично определяется прямоугольная декартова система координат {0; Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная ; Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная ; Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная } в пространстве; в этом случае векторы Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная , Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная , Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная также являются взаимно перпендикулярными и единичными. Базисные векторы Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная , Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная прямоугольной декартовой системы координат на плоскости обозначают обычно Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, базисные векторы Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная , Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная , Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная прямоугольной декартовой системы координат обозначают Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная. Соответственно разложение радиус-вектора Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная по базису записывают в виде

Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная (для плоскости);Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная (для пространства).

В первом случае точка М имеет координаты х, у, во втором случае - координаты х, у, z.

Определение 2. Проекцией вектора Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная на единичный вектор Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная называется число Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, где Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная = (Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная) - угол между векторами Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная и Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная.

Координаты х, у, z вектора Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, полученные как коэффициенты линейной комбинации базисных векторов, в прямоугольном базисе совпадают с проекцией вектора Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная на базисные орты Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная соответственно, а длина вектора Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная равна Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная.

Определение 3. Числа pic.cosa.jpg[/img], Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, cosy.jpg[/img] называются направляющими косинусами вектора Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная.

Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами (проекциями) его орта Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная и между собой связаны соотношением Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная.

Отметим, что базис Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная, Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная называют ортонормированным, так как Среди декартовых систем координат простейшей является прямоугольная.