12. Элементарные преобразования матрицы.

Элементарными преобразователями матрицы называются следующие операции.1)умножение какой либо строки на число отличное от нуля.2)прибавление к элементам одной строки соответствующих элементов другой строки умноженных на одно и то же число.3) переставка местами строк. 4)вычеркивание строки все элементы которой равны нулю.5)Вычеркивание строки все элементы которой равны нулю.6)вычеркивание столбца , все элементы которого равны нулю.

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

Применение и

Применение исчисление матриц. Матричный язык, матричное исчисление и обозначение широко используются в различных областях современной матем. и ее приложении.Матрицы явл-ся основным оператором линейной алгебры и применяются при исследовании линейных отображений векторных пространств, систем линейных ур-ний, линейных и квадратичных форм. Матрицы использ.-ся в матем. анализе при интегрировании систем диффиринциальных ур-ий, в механике,при использовании малых колебаний , электр. и механическ. систем, в теории вероятности.

13.Системы линейных уравнений. Решение системы. Совместные и несовместные системы. Определенные и неопределенные системы. Однородные и неоднородные системы.

Системы уравнений содержщие неизвестное первой степени называется линейными.

Система m линейных ур-ний с n неизвестными имеет вид (1)

В общем случае m ≠n число ур-ний в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных m может быть меньше, равно, или больше числа n. Числа где (i=1,2,…..m j=1,2,……n)называется коэффициентами системы. где (i=1,2…..m)называется свободными членами, называется неизвестными. Если в системе (1) все свободные члены равны нулю, т.е. система имеет вид фор-лы(2) то она назыв. Однородной. Если не равны нулю , то неоднородной.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной если не имеет ни одного решения.

Совместная система вида (1) называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если у нее существуют по крайней мере 2 различных решения.

14. Теорема Кронекера-Капелли.

Это теорема выражающая необходимые и достаточные ус-вия существования системы m линейных ур-ний с n неизвестными. По коэффициентам составляется 2 матрицы

Называемые соответственно основной и расширенной матрицами системы.Для того чтобы система 1 имела хотябы одно решение, т.е. была бы совместна, необходимо и достаточно чтобы ранг основной матрицы А был бы равен расширенной матрицы.Это решение единственно тогда и только тогда когда ранг равен n.Теорема о числе решений системы m линейных уравнений с n неизвестными. Если ранг матрицы системы А равен рангу матрицы В (расширенное) и равен числу неизвестных (z=n) при этом (n≤m) , то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы системы А меньше ранга расширенной матрицы В то система 1 не совместа(не имеет решений). Если же (z<n) то система 1 имеет бесконечно много решений.

15.Теорема о числе решений системы m линейных уравнений с n неизвестными. Система m линейных ур-ний с n неизвестными имеет вид (1)

В общем случае m ≠n число ур-ний в системе не обязательно совпадает с числом неизвестных m может быть меньше, равно, или больше числа n. Числа где (i=1,2,…..m j=1,2,……n)называется коэффициентами системы. где (i=1,2…..m)называется свободными членами, называется неизвестными.

16.Система n линейных уравнений с n неизвестными. Теорема Крамера.

Рассмотрим систему у которой число ура-ний равно числу неизвестных