1.Средние индексы, тождественные агрегатным.

Кроме агрегатных, индексов в статистике применяются и средневзвешенные. Их рассчитывают, если имеющейся информации недостаточно, чтобы рассчитать общий агрегатный индекс. Например, если нет данных о ценах, но есть – о стоимости продукции в текущем периоде и об индивидуальных индексах цен по каждому товару, то общий индекс цен как агрегатный определить нельзя, но можно вычислить его как средний из индивидуальных. Если же не известны количества произведенных отдельных видов продукции, но известны индивидуальные индексы и стоимость продукции базисного периода, то можно определить общий индекс физического объема как средневзвешенную величину.

Средний индекс – это индекс, вычисленный как средняя величина из индивидуальных индексов. Средний индекс производный, он получается в результате преобразования агрегатного, а следовательно тождествен ему.

При исчислении средних индексов используются две формы средних: арифметическая и гармоническая.

Средний арифметический индекс тождествен агрегатному, если весами индивидуальных индексов будут слагаемые знаменателя агрегатного индекса.

Средний арифметический индекс физического объема вычисляется по формуле: . Весами в формуле является стоимость продукции базисного периода. Так как , то формула этого индекса легко преобразуется в формулу: .

Средние арифметические индексы чаще всего применяются на практике для расчета сводных индексов количественных показателей. Индексы качественных показателей обычно определяются по формуле средней гармонической взвешенной величины.

Средний гармонический индекс тождествен агрегатному, если индивидуальные индексы взвешены с помощью слагаемых числителя агрегатного индекса. Например, индекс цен можно вычислить по формуле: , где весами является стоимость продукции текущего периода. Так как , то формула может быть легко преобразована в формулу .

Средние индексы также широко применяются для анализа рынка ценных бумаг. Наиболее известным является индекс Доу-Джонса, который определяется как средний арифметический индекс значений курсов акций, котирующихся на Нью-йоркской фондовой бирже.

Пример №1

По нижеследующим данным определить индекс физического объема продукции:

Виды изделий	Выпуск продукции в мае (в млн. руб.)	Изменение физического объема продукции в июне по сравнению с маем (%)
Туфли женские	30	+15
Туфли мужские	25	+10
Туфли детские	10	-20

Решение:

1) Индивидуальные индексы объема:

Туфли женские: ;

Туфли мужские: ;

Туфли детские: .

2) Средний арифметический индекс физического объема:

= = =1,077 (107,7%).

В среднем физический объем продукции в июне увеличился по сравнению с маем на 7,7% и составил 107,7% от уровня мая.

Пример №2

Определить средний размер изменения цен на товары А и Б в 2006 году по сравнению с 2005 годом по следующим данным:

Товары	Реализовано в 2006г. (млн. руб.)	Изменение цен в 2006г. по сравнению с 2005г. (%)
А	12	-3
Б	20	+2

Решение:

1) Индивидуальные индексы цен:

А: ;

Б: .

2)Средний гармонический индекс цен:

= = =0,999 (99,9%).

В среднем цены на продукцию в 2006г. уменьшились по сравнению с 2005г. на 0,1% и составили 99,9% от уровня 2005г.

Индексы других качественных показателей (цен, себестоимости и т.д.) определяются по формуле средней гармонической взвешенной величины.

Средний гармонический индекс тождествен агрегатному, если индивидуальные индексы взвешены с помощью слагаемых числителя агрегатного индекса.

Например, индекс себестоимости можно вычислить так:

А индекс цен так:

Таким образом, при определении среднего гармонического индекса себестоимости, весами являются издержки производства текущего периода, а при вычислении индекса цен – стоимость продукции этого периода.

Билет №26