Пример 1.

Рисунок 2.

   Теперь предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту. Из произвольно выбранной на кривой точке M(x; y) опустим перпендикуляр MNна асимптоту AB и перпендикуляр MP на ось Ox (рис.2). Тогда имеемLM = PM - PL, т.е. LM = f(x) - y, где f(x) и y - ординаты точек M и L соответственно кривой и асимптоты, имеющих одинаковую абсциссу x.    Согласно определению асимптоты, при неограниченном увеличении абсциссы x (т.е. при удалении точки M по кривой в бесконечность) расстояние MN кривой от асимптоты неограниченно уменьшается, т.е  . Вместе с перпендикуляром MN будет неограниченно уменьшаться и LM = f(x) - y :

     (2)

   В самом деле, из DLMN имеем

где a - угол наклона асимптоты. Так как cos a = const, то

   Пусть y = kx + b - уравнение асимптоты: тогда

откуда

f(x) = kx + b + b     (3)

где b - бесконечно малая при x ® +Ґ.    Таким образом, если уравнение кривой можно представить в виде (3), где k и b - некоторые постоянные, а b ®0 при x ® +Ґ, то кривая имеет асимптоту y = kx + b. Аналогичное условие можно написать для асимптоты, когда x ® -Ґ 

Пример 2.

   Однако не всегда легко представить уравнение кривой в виде (3). Поэтому для нахождения наклонной асимптоты сначала определяют угловой коэффициент k, а потом отрезок b, отсекаемый асимптотой на оси Oy. Выведем формулы для вычисления k и b.     Запишем условие (3) в виде

   При x ® +Ґ слагаемое   стремится к нулю, а потому

     (4)

   Теперь из уравнения

f(x) = kx + b + b

находим b:

b = f(x) - kx - b

или, так как  ,

     (5)

   Если пределы (4) и (5) существуют, то кривая имеет при x®+Ґ асимптоту

y = kx + b,

где k и b находятся по формулам (4) и (5). Для x®-Ґ формулы такие же, но пределы находятся при x®-Ґ.    При k = 0 получаем уравнение

y = b

горизонтальной асимптоты, причем 

23. Схема исследования функции

1.      Область определения

2.      Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство  , то  – четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство  , то  – нечетная функция; в противном случае,  – общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3.      Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

Точки пересечения с осью ОХ:  , где   – решение уравнения  .

Точки пересечения с осью ОY:  .

4.      Нахождение промежутков знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е.   или  .

5.      Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.

6.      Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов

Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

7.      Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба

Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

8.      Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва

Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва   необходимо вычислить односторонние пределы:   и   . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая   – вертикальная асимптота.

При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при   и  . Для этого нужно вычислить следующие пределы:  и   . Если оба предела существуют, то   – уравнение наклонной асимптоты при  . Частный случай наклонной асимптоты при   – горизонтальная асимптота.  Аналогично ищется наклонная асимптота при  . 

9.      Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точках)

 

Пример 1. Построить график функции   с помощью производной первого порядка.

Решение.     1. 

2.   и  . Следовательно, функция  общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат:

ОХ: 

,

.                                                                     (-1; 0),  (3; 0)

OY:  ,                                                            (0; -9/16)

4. Промежутки знакопостоянства:

 при 

 

 

5. 

Критические точки: 

6.

 возрастает на промежутке 

 убывает на промежутке 

 

 

Точки экстремума: 

;      

7. Асимптот нет

8. Дополнительные точки:  ,            

9.

 

Замечание. Некоторые авторы рассматривают возрастание, убывание функции, и выпуклость функции на интервале. В этом случае, ответами в пунктах 6, 8 являются интервалы.

 

Удачи!