21. Выпуклость и вогнутость графика. Точки перегиба

Вторая производная. Если производная  f ' ( x ) функции  f ( x ) дифференцируема в точке ( x₀ ), то её производная называется второй производнойфункции  f ( x )  в точке ( x₀ ), и обозначается  f '' ( x₀ ).  

 

Функция  f ( x ) называется  выпуклой  на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  ниже  касательной, проведенной к кривой  y = f (x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀   ( a, b ).

Функция  f ( x ) называется  вогнутой на интервале ( a, b ), если её график на этом интервале лежит  выше  касательной, проведенной к кривой  y = f (x ) в любой точке ( x₀ ,  f ( x₀ ) ),  x₀   ( a, b ).

 

Достаточное условие вогнутости ( выпуклости ) функции.

Пусть функция f ( x ) дважды дифференцируема ( имеет вторую производную ) на интервале ( a, b ), тогда:

если  f '' ( x ) > 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x ) является вогнутой на интервале ( a, b );

если  f '' ( x ) < 0 для любого x   ( a, b ), то функция  f ( x ) является выпуклой на интервале ( a, b ) .

 

Точка, при переходе через которую функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба. Отсюда следует, что если в точке перегиба  x₀  существует вторая производная  f '' ( x₀ ), то  f '' ( x₀ ) = 0.

П р и м е р .

Рассмотрим график функции  y = x3 : Эта функция является вогнутой при  x > 0  и выпуклой при  x < 0. В самом деле,  y'' = 6x, но 6x > 0 при  x > 0  и  6x < 0  при  x < 0,следовательно,  y'' > 0 при x > 0 и  y'' < 0 при x < 0, откуда следует, что функция  y = x3 является вогнутой при  x > 0 и выпуклой при x <0. Тогда  x = 0 является точкой перегиба функции  y = x3.

22. Ассимптоты графика функции

Асимптоты графика функции.

   В других разделах было показано, что исследование функции f(x) на минимум и максимум, на точки перегиба облегчают построение графика этой функции. Но кривая y = f(x) может иметь асимптоты, т.е. прямые, к которым неограниченно приближается кривая по мере удаления ее переменной точки в бесконечность.    Поэтому прежде чем построить кривую, нужно провести еще исследование ее уравнения на асимптоты.    Дадим более полное определение асимптоты.

Рисунок 1.

   Определение. Если расстояние от точки M кривой y = f(x) от некоторой прямой y = kx + b стремиться к нулю, когда точка M, двигаясь по кривой, удаляется в бесконечность, то прямая y = kx + b называется асимптотой кривой y = f(x).    Асимптоты могут быть вертикальными, наклонными и горизонтальными.    Пусть кривая y = f(x) имеет одну или несколько вертикальных асимптот (рис.1).    Для нахождения вертикальных асимптот кривой y = f(x) нужно отыскать такие значения x = a, при которых yобращается в бесконечность, т.е. при которых  .    Уравнение вертикальной асимптоты будет

x = a     (1)

   В самом деле, из рис.1 непосредственно видно, что расстояние точки M(x; y) от прямой x = a равно d = | x - a |. Когдаx ® a, то точка M(x; y) движется по кривой y = f(x), удаляясь в бесконечность, причем ее расстояние d = | x - a | от прямой x = a стремится к нулю и, согласно определению асимптоты, прямая x = a является асимптотой кривой y = f(x)