Ответы:

Общее решение:

Базисное решение: 

Общее решение:

Базисное решение: 

6. Понятие функции, элементарные функции

Определение функции

Функция - зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у, где переменная х- независимая переменная или аргумент и переменная у- зависимая переменная

Основные свойства функции.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля

– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если

– область определения функции симметрична относительно нуля

– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Пример:

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1)< f(x2).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x1 и x2 из этого множества, таких, что x1 < x2 выполнено неравенство f(x1) > f(x2).

4. Экстремумы

Точка Хmax называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmax , выполнено неравенство f(х) f(Xmax).

Значение Ymax=f(Xmax) называется максимумом этой функции.

Хmax – точка максимума

Уmax – максимум

Точка Хmin называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Хmin , выполнено неравенство f(х) f(Xmin).

Значение Ymin=f(Xmin) называется минимумом этой функции.

Xmin – точка минимума

Ymin – минимум

Xmin, Хmax – точки экстремума

Ymin, Уmax – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Простейшими элементарными функциями обычно называют линейную (y=kx+b), квадратичную (y=ax2+bx+c), степенную (y=xn, где n целое число, не равно 1), показательную (y=ax,где a больше 0 и не равно 1), логарифмическую (y=loga x, где a больше 0 и не равно 1), тригонометрические (y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x), обратные тригонометрические

(y=arcsin x, y=arccos x, y=arctg x, y=arcctg x).

7. Предел функции х->х0 и х->бесконечности. основные теоремы о пределах

Бесконечно малые и их основные свойства

 

 В параграфе будем рассматривать функции, стремящиеся к нулю при некотором характере изменения аргумента.

   Определение. Функция   называется бесконечно малой при    или при  , если   или  .

 Теорема 1.

 Если функция y = f(x) представляется в виде суммы постоянного числа b и бесконечно малой  :

 y = b+ , (1)

то

   (при  ).

 Обратно, если  , то можно написать  , где  — бесконечно малая.

 Доказательство. Из равенст­ва (1) следует . Но при произвольном   все значения  , начиная с некоторого, удовлетворяют соотношению  , следовательно, для всех значений у, начиная с не­которого, будет выполняться неравен­ство  . А это и значит, что  .

 Обратно: если  , то при произвольном   для всех значений у, начиная с некоторого, будет  . Но если обозначим  , то, следовательно, для всех зна­чений  , начиная с некоторого, будет  , а это значит, что  — бесконечно малая.

 Теорема 2.

 Если   стремится к нулю при   (или при  ) и не обращается в нуль, тo   стремится к бесконечности. 

 Доказательство. 

 При любом, как угодно большом   будет выполняться неравенство  , если только бyдет выпол­няться неравенство  . Последнее неравенство будет выпол­няться для всех значений  , начиная с некоторого, так как  . 

 Теорема 3. 

 Алгебраическая сумма двух, трех и вообще определенного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

 Доказательство. 

 Проведем  доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится аналогично.

 Пусть  , где  . Докажем, что при произвольном как угодно малом   найдется   такое, что при удовлетворении неравенства   будет выполняться неравенство  . Так как    есть бесконечно малая, то найдется такое   что в окрестности с центром в точке a  в радиусом    будет

  .

Так как   есть бесконечно малая, то найдется такое  , что в окрестности с центром в точке а и радиусом    будет

  .

 Возьмем   равным меньшему из величин   и  , тогда в окрестности точки а с радиусом    будут выполняться неравенства  ;  . Следовательно, в этой окрестности будет

  .

 т. е.  , ч. т. д.

 Аналогично приводится доказательство и для случая, когда

  ,   .