16. Логарифмическая производная

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функции, например сложно-показательных.

Содержание   [показать]

[править]Применение

[править]Производная сложно-показательной функции

Пусть   (для краткости  , где u и g - функции).

Тогда  , а  . С другой стороны,  , т.е.  .

Окончательно имеем 

[править]Производная произведения функций

Пусть задана функция   (для краткости  ).

Так как  .

Окончательно получаем:  .

Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если  , то 

Раскрыв скобки, получим: 

В частности, если  , то 

[править]Пример

17. Дифференциал функции

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/Dх=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.                                             (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх,                                              (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

<< Пример 24.1  

Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x²-sin(l+2x).

Решение: По формуле dy=ƒ'(х) dx находим

dy=(3х²-sin(l+2x))'dx=(6х-2cos(l+2х))dx.

<< Пример 24.2

Найти дифференциал функции

Вычислить dy при х=0, dx=0,1.

Решение:

Подставив х=0 и dx=0.1, получим

18. Производные и дифференциалы высших порядков

Производные и дифференциалы высших порядков

Пусть в интервале (a, b) задана функция f(x) и в каждой точке x О (a, b) существует производная f '(x). Таким образом в интервале (a, b) задана функция y = f '(x) .

Если первая производная функция y = f '(x) дифференцируема в интервале (a, b), то ее производная называется второй производной функции f(x).

Вторая производная обозначается символами f ''(x) или  

d2 f

dx2

 .

Вообще, производной n–го порядка функции f(x), называется производная от производной функции f(x)   (n − 1)–го порядка. Производная n–го порядка обозначается f⁽ⁿ⁾(x).

Замечание. Если речь идет о производной n–го порядка ( n = 2, 3, … ) в фиксированной точке x₀, то для существования f⁽ⁿ⁾ (x₀) необходимо существование f^{(n − 1)} (x) не только в точке x₀, но и в некоторой ее окрестности. При этом условии

 

f(n) (x0) =   d dx    f(n − 1) (x0).

 

Функция, имеющая в точке производную n–го порядка, называется n раз дифференцируемой в этой точке.

Функция, имеющая в точке производные всех порядков, называется бесконечно дифференцируемой в этой точке.

Формулы для производных n–го порядка суммы и произведения функций

Если функции u(x) и v(x) n раз дифференцируемы на некотором промежутке, то производная n–го порядка суммы определяется формулой

 

( u + v )(n) = u(n) + v(n) ,

 

а производная n–го порядка произведения определяется формулой Лейбница

 

( u · v)(n) = u(n) · v + n u(n − 1) · v' +   n(n − 1) 2!    u(n − 2) · v'' + … + u · v(n) .

 

Формула Лейбница может быть записана в виде

 

(u · v)(n) =   n ∑ k = 0    Cnk · u(n − k) v(k) ,

 

где u⁽⁰⁾ = u(x), v⁽⁰⁾ = v(x) и C_n^k =  

n!

k! (n − k)!

   — биномиальные коэффициенты.