24

Y

1. Мощность множеств: определение и примеры

Мощность множества - характеристика множеств (в том числе бесконечных), обобщающая понятие количества (числа) элементов конечного множества.

Для конечных элементов мощность есть количество элементов множества.

Множества A и B называют равномощными, если между ними существует взаимно-однозначное соответствие (биекция).

Множества, равномощные натуральному ряду, называют счетными. Остальные множества называются несчетными, или континуальными (к таковым, например, относится множество вещественных чисел).

Примеры:

1. Множества натуральных, положительных четных и нечетных чисел равномощны и являются счетными.

2. Множества точек отрезка длиной l, 2l, l/2 равномощны и являются континуальными.

Обычно за словом "множество" хочется услышать название предметов, которых много. Абстрагируясь от предметного содержания, большую совокупность элементов произвольной природы можно называть одним словом "множество". Создатель теории множеств немецкий математик Г. Кантор (1845-1918) понимал под множеством "всякое многое, которое можно мыслить как единое". Конечные множества характеризуются числом элементов. Обобщая это свойство на бесконечные множества, Кантор ввёл понятие мощности множеств: если элементы двух множеств могут быть поставлены во взаимно-однозначное соответствие, то их мощность одинакова.

Кажется, вполне естественное обобщение. Но из него вытекают совершенно поразительные следствия. Например, оказывается, что множество чётных чисел имеет такую же мощность, как и множество всех целых чисел, т.е. часть и целое равномощны. Взаимно-однозначное соответствие тут очевидно: n< -> 2n. Нетрудно выделить и другие подмножества той же мощности: n< -> n2, n <-> 10n и пр.

Здравый смысл сопротивляется признать, что "рациональных чисел столько же, сколько целых". Но ещё Г.Галилей (1564-1642) говорил: "Рассуждая нашим ограниченным разумом о бесконечном, мы приписываем последнему свойства, известные нам по вещам конечным и ограниченным. Между тем, это неправильно, так как такие свойства, как большая и меньшая величина и равенство, неприменимы к бесконечному, относительно которого нельзя сказать, что одна бесконечность больше или меньше другой или равна ей" [113].

Конечный человек пытается познать бесконечность, а она отвечает на эту дерзость парадоксами. Но желание обуздать бесконечность было сильнее боязни парадоксов, и теория множеств решительно овладевала умами математиков. "Окончательное выяснение сущности бесконечного" Д.Гильберт считал "необходимым для чести самого человеческого разума" [111].

Множества, равномощные натуральному ряду, были названы счётными. Освоив их, математическая мысль пошла дальше. Удалось доказать, что множество всех точек на конечном отрезке прямой не является счётным. Воспроизведём это доказательство для открытого промежутка (0,1). Любое число на нём можно представить в виде бесконечной десятичной дроби 0,α₁ α ₂ α ₃... . Допустим, что они все перенумерованы, и опровергнем это предположение, построив незанумерованное число по следующему правилу: первый десятичный знак после запятой возьмём отличным от α₁ у первого числа, второй знак - отличным от α₂у второго числа и т.д. В результате получим число, отличное от всех перенумерованных. Значит, мощность нашего множества больше, чем у счётного (А). Она названа континуальной (С).

С ней тоже начались казусы. Во-первых, она не зависит от длины отрезка. Нужное соответствие легко показать геометрически, хотя трудно смириться с мыслью, что длинная дорога содержит столько же точек, что и короткая. Более того, бесконечная прямая имеет ту же мощность, что и любой её отрезок.

Ещё удивительнее: мощность квадрата оказалась такой же, как мощность отрезка. Соответствие между двумя координатами точки квадрата x = 0, α₂ α₃... , y = 0, β₁ β₂ β₃... и одной координатой точки отрезка z можно установить по правилу z = 0, α₁β₁ α₂β₂ α₃β₃... . Сам Кантор, найдя доказательство, писал: "Я вижу это, но не верю". Мощность куба тоже континуальна.

Однако множества мощности большей, чем континуум, всё-таки существуют. Их можно строить, задавая на C множество всех функций, принимающих значения 0 и 1 [113]. Вообще для любого множества можно построить множество большей мощности, так что множества самой большой мощности не существует.

Проблема назрела в другом: насколько велика пропасть, разделяющая две ближайшие к нам бесконечности - счётную и континуальную? Сам Кантор полагал, что между ними нет множеств с промежуточной мощностью. Это утверждение, получившее название проблемы континуума, он пытался доказать на протяжении многих лет, но безуспешно. Д.Гильберт, формулируя на рубеже 19-го и 20-го веков важнейшие задачи математики, поставил проблему континуума на первое место.

В 1931 г. появилась статья австрийского математика К.Гёделя, в которой он доказал, что в любой формальной системе, содержащей арифметику натуральных чисел, можно сформулировать утверждение, которое в этой системе нельзя ни доказать, ни опровергнуть. А в 1939 г. он же доказал невозможность опровержения гипотезы континуума. Наконец, в 1963 г. американский математик П.Коэн получил исчерпывающее решение проблемы, доказав, что аксиомам теории множеств не противоречит ни континуум-гипотеза, ни её отрицание. Таким образом, хотя вопрос был задан в форме "либо-либо", ответ получился в виде "ни-ни". Этот результат не только серьёзно подорвал позиции теоретико-множественной математики, но и имел принципиальные последствия в естествознании и философии.

Размышляя над теоремой Гёделя, А.Н.Паршин в ответ на иронические слова П.Коэна "Жизнь была бы гораздо приятнее, не будь гильбертова программа потрясена открытиями Гёделя", решительно заявляет: "Если бы не было теоремы Гёделя, то жизнь не только не была бы приятнее, её просто не было бы" [114].