Восстановление непрерывного сигнала с помощью ДПФ
Заменив номер дискретного k отсчета на непрерывное нормированное время t/Td получим
|
1 |
N/2 1 |
|
- j |
2 |
|
nt |
|
|
|
||
x(t) |
|
NT |
|
|
N 2 p |
p 0,1,2,... |
||||||
|
Xne |
|
|
d |
|
|
|
|||||
|
N n=-N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(N -1)/2 |
|
|
|
- j |
|
|
2 |
nt |
|
|
|
|
|
|
|
NTd |
|
|
|||||
x(t) |
|
|
Xne |
|
|
|
|
|
N 2 p |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
N n=-(N -1)/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналоговый сигнал, подвергнутый дискретизации с интервалом Td и имеющий верхнюю граничную частоту FB= π/Td
Число математических операций, необходимых для расчета N- точечного ДПФ
Число умножений комплексных чисел N2 ==> (4 N) 2 =16N 2 умножений вещественных чисел (а+jb)(c+jd)=ac-bd+jbc+jad Число сложений комплексных чисел N(N-1) ==>(2N)(2N-1)=4N2-2N (a+jb)+(c+jd)=a+c+j(b+d) При N=1024 надо выполнить приблизительно 2N2 = 1000000 операций комплексного умножения+сложения с числами ,
имеющими например 16 разрядов. На это потребуется не менее 100 000 000 машинных тактов. Это очень долго.
ОТС Лекция № 5 |
41 |
Дискретное преобразование Фурье
Аналогично можно поступить и при расчете линейной свертки через циклическую.
Рассмотрим пример. Пусть |
, а |
. Прямое вычисление линейной свертки |
потребует |
(12 миллионов) операций умножения и сложения. |
|
Дополним каждую из последовательностей до 8192 отсчетов нулями и применим алгоритм БПФ с прореживание по времени, тогда на вычисление одного БПФ потребуется операций комплексного умножения или 428000 операций действительного умножения. Таких блоков БПФ будет всего 3 штуки, плюс надо
учесть 8192 комплексных умножений спектров, итого |
, что |
почти в 7.5 раз ниже чем если бы мы считали линейную свертку в лоб |
|
ОТС |
Лекция #5 |
42 |
|
||
|
|
Циклическая свертка может быть выполнена через ДПФ (БПФ) гораздо быстрее
ОТС |
Лекция #5 |
43 |
|
||
|
|
Быстрое преобразование Фурье (БПФ).
Основная идея ускорения вычислений ДПФ.
Если исходную последовательность отсчетов разбить на две меньшей длины (например на две длиной N/2), то сделав два N/2 точечных ДПФ , выполним 2(N/2)2 =N2/2 операций комплексного умножения.
Если теперь объединить результаты двух N/2 точечных ДПФ в одно N точечное и сэкономить хотя бы одну операцию умножения , то результат будет получен быстрее , чем при прямом расчете N точечного ДПФ.
Алгоритмы БПФ по основанию 2.
ОТС Лекция № 5 |
44 |
1. Алгоритмы БПФ с прореживанием по времени.
Математическое обоснование алгоритма при разбиении отсчетов на четные и нечетные:
X = |
N/2 1 |
|
|
W 2m n |
|
N/2 1 |
W (2m+1) n |
N/2 1 |
|
W |
2m n |
N/2 1 |
W (2m+1) n |
|||||||||
x |
|
|
x |
|
y |
|
z |
|||||||||||||||
n |
|
2m |
N |
|
|
|
|
2m+1 |
|
|
N |
|
m |
|
N |
|
m |
N |
||||
|
m=0 |
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W 2mN n e-j |
N 2m n = e-j |
|
m n =W mN/2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W (2m+1)nN e-j |
|
N 2m ne-j |
|
N n = e-j |
|
m n =W mN/2n W nN |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
X = |
N/2 1 |
|
|
|
W n |
N/2 1 |
|
W m n |
Y |
W n |
|
Z |
|
|
|
0 n N/2 |
||||||
y W m n |
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
m |
|
N/2 |
|
|
N |
m |
|
N/2 |
|
n |
N |
|
n |
|
|
|
|
||||
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Yn+N/2 Yn |
|
|
Zn+N/2 |
|
Zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X = |
N 1 |
y W m n |
|
W n |
|
N 1 |
z |
|
W m n |
|
Y |
|
W n-N/2 |
Z |
N/2 n N -1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n |
m |
N/2 |
|
|
N |
|
m |
N/2 |
|
n-N/2 |
|
N |
|
n-N/2 |
|
|||||||
|
m=N/2 |
|
|
|
|
|
|
m=N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОТС Лекция № 5 |
45 |
Базовая операция «бабочка» алгоритма БПФ с прореживанием по времени.
1. Алгоритмы БПФ с прореживанием по частоте.
Математическое обоснование алгоритма при разбиении отсчетов на первую и вторую половины:
X = |
N/2 1 |
|
|
W 2m n |
|
N/2 1 |
W (2m+1) n |
N/2 1 |
|
W |
2m n |
N/2 1 |
W (2m+1) n |
|||||||||
x |
|
|
x |
|
y |
|
z |
|||||||||||||||
n |
|
2m |
N |
|
|
|
|
2m+1 |
|
|
N |
|
m |
|
N |
|
m |
N |
||||
|
m=0 |
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W 2mN n e-j |
N 2m n = e-j |
|
m n =W mN/2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
W (2m+1)nN e-j |
|
N 2m ne-j |
|
N n = e-j |
|
m n =W mN/2n W nN |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
X = |
N/2 1 |
|
|
|
W n |
N/2 1 |
|
W m n |
Y |
W n |
|
Z |
|
|
|
0 n N/2 |
||||||
y W m n |
z |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
m |
|
N/2 |
|
|
N |
m |
|
N/2 |
|
n |
N |
|
n |
|
|
|
|
||||
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Yn+N/2 Yn |
|
|
Zn+N/2 |
|
Zn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X = |
N 1 |
y W m n |
|
W n |
|
N 1 |
z |
|
W m n |
|
Y |
|
W n-N/2 |
Z |
N/2 n N -1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
n |
m |
N/2 |
|
|
N |
|
m |
N/2 |
|
n-N/2 |
|
N |
|
n-N/2 |
|
|||||||
|
m=N/2 |
|
|
|
|
|
|
m=N/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ОТС Лекция № 5 |
47 |
1. Алгоритмы БПФ с прореживанием по частоте.
Математическое обоснование алгоритма
Разбиваем отсчеты во временной области на первую и вторую половины:
X = |
N/2 1 |
|
|
|
|
|
N 1 |
W m n |
|
N/2 1 |
x1 |
W m n |
N/2 1 |
x2 |
W (m+N//2) n |
|||||
x W m n |
x |
|
|
|
||||||||||||||||
n |
m |
|
N |
|
|
m |
|
N |
|
|
|
m |
|
N |
|
m |
N |
|||
|
m=0 |
|
|
|
|
m=N/2 |
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
m=0 |
|
|
||
x1 = x |
m= 0,1,... N -1 |
|
x2 |
= x |
m= N , N |
+1,...N -1 |
||||||||||||||
m |
m |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
m |
|
|
m |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 N |
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
W (m+N/2)N n e-j |
|
N 2 ne-j |
|
2m n = e-j ne-j |
|
m n = (-1)nW mN/2n |
|
|
|
|||||||||||
|
N |
N/2 |
|
|
|
|||||||||||||||
X = |
N 1 |
|
|
W |
m n |
n |
|
|
|
m n |
|
|
|
|
|
|
||||
x1 |
|
N |
+(-1) x2 |
|
W |
N |
|
|
|
|
|
|
||||||||
n |
|
m |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W (2m+1)nN e-j N 2m ne-j |
N n = e-j |
|
m n =W mN/2n W nN |
|
|
|
|
|
||||||||||||
N/2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
ОТС |
Лекция #6 |
48 |
|
||
|
|
Выделяем отдельно расчет комплексных амплитуд четных гармоник с номерами 2n:
X |
|
= |
N/2 1 |
|
|
2n |
|
|
m 2n |
N/2 1 |
|
x1 + x2 |
W |
m n |
|||
|
2n |
|
|
|
m |
|
|
m |
N |
|
m |
m |
|
N/2 |
|||
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
m 2n |
|
-j |
2 |
2m n |
-j |
2 |
m n |
|
m n |
|
|
|
|
|
|
|
|
e N |
|
= e N/2 |
|
= W |
|
|
|
|
|
|
||||||
W N |
|
|
|
N/2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Выделяем отдельно расчет комплексных амплитуд нечетных гармоник с номерами 2n+1:
X |
|
= |
N/2 1 |
|
|
2n+1 |
x2 |
|
2n+1 |
|
x1 + (-1) |
|
W |
||||
|
|
|
m |
|
m |
|||
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
m (2n+1) |
N/2 1 |
|
m |
m n |
|
x1m - x2m |
W |
||||
N |
NW |
N/2 |
|||
|
m=0 |
|
|
|
W mN (2n+1) e-j 2N 2m ne-j 2N m = e-j N/22 m ne-j 2N m = W mN/2n W mN
Базовая операция «бабочка » алгоритма БПФ с прореживанием по частоте:
X÷ò X1m X2m
Xí ÷m X1m - X2m W mN
Направленный граф базовой операции «бабочка » алгоритма БПФ с прореживанием по частоте:
ОТС |
Лекция #6 |
49 |
|
||
|
|
Пример направленного графа 8-ми точечного БПФ с прореживанием по частоте.
ОТС |
Лекция #6 |