Спектр дискретизированного сигнала при не правильном выборе интервала дискретизации
ОТС Лекция № 5 |
31 |
Эффект наложения при дискретизации - элайзинг (алиасинг)
Алиасинг — одна из главных проблем при аналого-цифровом преобразовании видео- и аудиосигналов.
Неправильная дискретизация аналогового сигнала приводит к тому, что высокочастотные его составляющие накладываются на низкочастотные, в результате чего восстановление сигнала во времени приводит к его искажениям. Для предотвращения этого эффекта частота дискретизации должна быть достаточно высокой и сигнал должен оцифровкой.
Аналоговы |
|
|
|
|
|
|
Цифровой |
||
й |
Антиэлайзинг |
|
|
АЦП |
|
сигнал |
|||
сигнал |
|
овый |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
фильтр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Импульсы |
|||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ОТС Лекция № 5 |
|
дискретизации 32 |
|||||
Назначение формирующего АЭФ
ОТС Лекция № 5 |
33 |
ОТС Лекция № 5 |
34 |
Спектр дискретизированного сигнала при произвольной форме дискретизирующих импульсов
sa (t) |
Х |
+ |
|
s0 (t - kTd )
k
& |
|
& |
( ) |
|
& |
2 n |
||
|
S0 |
|
||||||
S |
Ä |
( ) |
|
|
S |
- |
|
|
|
|
|||||||
|
|
Td |
|
à |
||||
|
|
|
n |
|
|
Td |
||
sd (t)= s(kTd ) s0(t -kTd )
k=-
Мультипликативные
искажения
спектра
35
Вопрос №3 Дискретное преобразование Фурье
|
|
xk xk+ N |
s(t) xk (t - kTd ) |
|
k |
1. Сигнал s(t) периодический с периодом T=NTd.
Значит расстояние по частоте между соседними гармониками 2π/T=2π/NTd 2. Сигнал s(t) дискретный,
следовательно его спектр периодический с периодом 2π/Td.
3. Один период спектра дискретного сигнала содержит
2π/Td : 2π/NTd=N гармоник
ОТС Лекция № 5 |
36 |
Вывод формулы для спектра периодического дискретного сигнала ( ДПФ)
|
|
|
|
1 NTd |
|
- j t |
|
1 NTd |
N 1 |
|
|
|
|
- j t |
|
|
|||
X |
|
= |
|
|
|
s(t)e |
n |
dt = |
|
|
|
x (t -kT ) |
e |
n |
dt = |
|
|||
|
NT |
NT |
|
||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
k |
d |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
d |
0 |
|
|
|
d |
0 |
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N 1 |
NTd |
|
|
|
|
1 |
|
N 1 |
|
|
1 |
N 1 |
2 |
||
|
|
|
xk |
(t -kTd )e- j n tdt = |
|
xke- j n t |
|
xke- j |
N nk |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
NTd k=0 |
|
0 |
|
|
|
|
NTd k=0 |
|
NTd k=0 |
|
||||||||
Это линейная комбинация из отсчетов сигнала. Реальный масштаб по частоте определяется величиной 1/ТД
Если сигнал – дискретная числовая последовательность, то оперируют номерами отсчетов k по времени и n – по частоте.
X = x W n k |
|
x = 1 X W - n k |
|
|||||||||
|
N 1 |
|
|
|
|
|
|
N 1 |
|
|
||
n |
k |
N |
|
k |
|
|
n N |
|
||||
|
|
|
|
|||||||||
|
k=0 |
|
|
|
|
|
N n=0 |
|
|
|||
n k |
|
- j 2 |
n k |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
WN |
|
e N |
|
cos N n k - j |
sin |
N n k |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТС Лекция № 5 |
37 |
Поворачивающие множители и их свойства
|
n k |
|
- j 2 |
n k |
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
W |
e |
N cos |
|
n k |
|
n k |
||||
|
N |
- j sin |
N |
|
||||||
N |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТС Лекция № 5 |
38 |
Свойства ДПФ
Линейность x1k X1n |
x2k X2n |
|
a x1k |
b x2k |
= yk Yn |
a |
X1n + b |
X2n |
||||||||||||||||||||
Задержка |
yk = xk -1 Yn |
= Xne |
|
- j 2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Симметрия для вещественного |
|
X N -n = X-n = Xn |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Постоянная составляющая спектра |
|
|
|
|
|
N - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
дискретного вещественного сигнала |
|
X 0 = |
x k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
k = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
при n= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N -1 |
|
|
|
|
|
Значение спектральной компоненты |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X N/2 |
= -1 |
k |
xk |
|||||||||||
с номером N/2 при четном N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ДПФ произведения |
x1k |
x 2k = |
y k Yn |
|
|
X 1i X 2n |
k=0 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
- i |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
двух |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N - 1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N i = 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
последовательносте |
X 2i |
X 2i N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Формула Рэлея для |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 N -1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
дискретного сигнала |
xk x k = yk Y0 |
|
Xi Xi |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N i=0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
N -1 |
|
|
|
1 |
|
|
N -1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Равенство Парсеваля для |
|
|
x2k |
|
|
|
|
|
Xi |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
вещественного дискретного |
|
|
k=0 |
|
|
|
N i=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
сигнала |
|
|
ОТС Лекция № 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|||||||
Примеры ДПФ
Если отношение |
N Td /2 не целое число в спектре дискретной гармоники присутствуют дополнительные составляющие |
ОТС Лекция № 5 |
40 |