37.Волновая функция и ее физический смысл.

Из содержания предыдущих двух параграфов следует, что с микрочастицей сопоставляют волновой процесс, который соответствует ее движению, поэтому состояние частицы в квантовой механике описывают волновой функцией, которая зависит от координат и времени y(x,y,z,t). Конкретный вид y-функции определяется состоянием частицы, характером действующих на нее сил. Если силовое поле, действующее на частицу, является стационарным, т.е. не завися­щим от времени, то y-функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит от времени, а другой  – от координат:

             (3.1)

В дальнейшем будем рассматривать только стационарные состояния. y-функция является вероятностной характеристикой состояния частицы. Чтобы пояснить это, мысленно выделим достаточно малый объем  , в пределах которого значения y-функции будем считать одинаковыми. Тогда вероятность нахождения dW частицы в данном объ­еме пропорциональна ему и зависит от квадрата модуля y-функции (квадрата модуля амплитуды волн де Бройля):                                                              (3.2)

Отсюда следует физический смысл волновой функции: .                                              (3.3)

Квадрат модуля волновой функции имеет смысл плотности вероят­ности, т.е. определяет вероятность нахождения частицы в единичном объеме в окрестности точки с координатами х, у, z.

Интегрируя выражение (3.2) по объему, определяем вероятность нахождения частицы в этом объеме в условиях стационарного поля:                                                (3.4)

Если известно, что частица находится в пределах объема V, то инте­грал выражения (3.4), взятый по объему V, должен быть равен единице:

                                                         (3.5)

– условие нормировки y-функции.

Чтобы волновая функция являлась объективной характеристикой со­стояния микрочастиц, она должна быть конечной, однозначной, непре­рывной, так как вероятность не может быть больше единицы, не может быть неоднозначной величиной и не может изменяться скачками. Таким образом, состояние микрочастицы полностью определяется волновой функцией. Частица может быть обнаружена в любой точке пространства, в которой волновая функция отлична от нуля.

38.границы применимости классической механики. Соотношение неопределенностей Гейзенберга. 

Согласно двойственной корпускулярно-волновой природе частиц вещества, для описания микрочастиц используются то волновые, то корпускулярные представления. По этому приписывать им все свойства частиц и все свойства волн нельзя. Естественно, что необходимо внести некоторые ограничения в применении к объектам микромира понятий классической механики.

В.Гейзенберг, учитывая волновые свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в их поведении, пришел в 1927 г. к выводу, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед заданной точностью харак­теризовать и координатой и импульсом. Согласно соотношению неопределенностей Гейзенберга, микрочастица не может иметь одновременно и определен­ную координату (х, у, z), и определенную соответствующую проекцию импульса (р_х, р_у, p_z), причем неопределенности этих величин удовлетворяют условиям:                   ,   ,  ,            (2.1)

где x, у, z  – неопределенности координат частицы, а  ,  ,   - неопределенности компонент импульса. Произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей проекции импульса не может быть меньше величины порядка h. То есть, чем точнее мы знаем координату, тем менее определена проекция импульса и наоборот. Отсюда вытекает и фактическая невозможность одновременно с любой, наперед заданной точностью измерить координату и импульс микрообъекта.

Поясним, что соотношение неопределенностей действительно вытекает из волновых свойств микрочастиц. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной х, расположенную перпендикулярно направлению их движения (рис.2.11). Так как электроны обладают волновыми свойствами, то при их прохождении через щель, размер которой сравним с длиной волны де Бройля  электрона, наблюдается дифракция. Дифракционная картина, наблюдаемая на экране (Э), характеризуется главным максимумом, расположенным симметрично оси Y, и побочными максимумами по обе стороны от главного (их не рассматриваем из-за незначительной интенсивности по сравнению с главным максимумом).

Рис 2.11

До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси Y, поэтому составляющая импульса р_х=0, так что  =0, а координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения электронов через щель их положение в направление оси Х определяется  с точностью до ширины щели, т.е. с точностью х. В этот же момент вследствие дифракции электроны отклоняются от первоначального направления и будут двигаться в пределах угла 2 ( – угол, соответствующий первому дифракционному минимуму). Следовательно, появляется неопределенность в значении составляющей импульса вдоль оси Y, которая, как следует из рис.2.1 и формулы (1.2), равна          .                    (2.2)

Ограничимся рассмотрением электронов, попадающих на экран в пределах главного максимума. Из теории дифракции известно, что первый минимум соответствует углу , удовлетворяющему условию

,                          (2.3)

где х–ширина щели, а  – длина волны де Бройля. Из формул (2.2) и (2.3) получим                         ,                        

где учтено, что для некоторой незначительной части электронов, попадающих за пределы главного максимума,  . Следовательно, получаем выражение     ,  то есть соотношение неопределенностей (2.1).

Соотношение неопределенностей получено при одновременном использовании классических характеристик движения частицы (координаты, импульса) и наличия у нее волновых свойств. Оно является квантовым ограничением применимости классической механики к микрообъектам и  позво­ляет оценить, например, в какой мере можно применять понятия классической меха­ники к микрочастицам, в частности, с какой степенью точности можно говорить о траекториях микрочастиц. Известно, что движение по траектории характеризуется в любой момент времени определенными значениями координат и скорости. Выразим соотношение неопределенностей (2.1) в виде                  

                                    (2.4)

Из этого выражения следует, что чем больше масса частицы, тем меньше неопределен­ности ее координаты и скорости и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к этой частице понятие траектории. Для описания движения макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами классической механики, чего нельзя делать для описания, например, движе­ния электрона в атоме.

В квантовой теории рассматривается также соотношение неопределенностей для энергии Е и времени t, т.е. неопределенности этих величин удовлетворяют условию

                            (4.5)

где Е – неопределенность энергии некоторого состояния системы, t – промежуток времени, в течение которого оно существует. Следовательно, систе­ма, имеющая среднее время жизни t, не может быть охарактеризована определенным значением энергии; разброс энергии Е=h/t возрастает с уменьшением среднего времени жизни. Из выражения (4.5) следует, что частота излученного фотона также должна иметь неопределенность  =Е /h, т.е. линии спектра должны характеризо­ваться частотой, равной ±Е /h. Опыт действительно показывает, что все спектраль­ные линии размыты; измеряя ширину спектральной линии, можно оценить порядок времени существования атома в возбужденном состоянии.