14. Поняття медіани та моди в статистиці, їх призначення та способи обчислення.

Ме - значення варіюючої ознаки, розташованої в середині ранжируваної сукупності і розділяє сукупність на дві рівні частини - із значеннями ознаки менше і більше медіани.

Щоб визначити медіану необхідно:

• на основі даної сукупності побудувати ранжируваний ряд і пронумерувати його члени;

• якщо число членів ряду непарне - додати до цього числа одиницю і розділити на 2, тобто .

• результаті одержимо порядковий номер члена ряду із значенням ознаки рівним медіані.

• якщо ж число членів ряду парне, то медіану визначають як середню арифметичну з 2-х центральних елементів ряду.

Для дискретного ряду Ме визначається без особливих розрахунків в наступній послідовності:

• Визначаються накопичені частоти, тобто додатково будується стовпчик накопичених частот.

• Розділивши суму частот на 2, визначаємо порядковий номер Ме.

• В стовпчику накопичених частот шукаємо накопичену частоту, рівну номеру Ме. Їй і відповідатиме в стовпці варіантів значення варіанту, рівне Ме.

Для інтервального ряду порядок знаходження Ме наступний:

• По сумі частот визначається порядковий номер Ме .

• По накопичених частотах визначається медіанний інтервал, тобто інтервал, в якому знаходиться Ме .

• По формулі визначається медіана:

Ме, як видно із способів її підрахунку, не залежить від двох крайніх значень ряду.

Мода - це найтиповіше, характерне для даної сукупності значення ознаки (варіанту).

Таким чином, для дискретного ряду, як в нашому прикладі, мода - це варіант, що має найбільшу частоту, тобто частіше всього що зустрічається. Визначення її проводиться без жодних обчислень, шляхом простого перегляду стовпчика частот. Дивлячись на цей стовпчик, слід лише знайти найбільше число в ньому. Йому і відповідає значення варіанту (ознаки), яке і є модою.

У випадку ж з інтервальним рядом, визначення моди вимагає обчислень і здійснюється в наступній послідовності:

• Шляхом проглядання стовпчика частот визначають інтервал, в якому знаходиться мода, тобто модальний інтервал. При цьому, у варіаційному ряді з рівними інтервалами модальний інтервал визначається за найбільшою частотою. В рядах з нерівними інтервалами - за найбільшою щільністю розподілу. Тобто, в цьому випадку необхідно розрахувати ще стовпчик щільності розподілу.

• Щільність розподілу, як нам вже відомо, розраховується шляхом ділення частоти на величину відповідного інтервалу, тобто .

• За формулою визначається мода:

Мо, перш за все, відповідає на питання про те, яке значення ознаки, що вивчається, найбільш вірогідне. Якщо в якомусь розподілі 2 варіанти виділяються відносно великими (рівними) частотами, то такий розподіл має дві моди і називається двомодальним .

При розв'язанні практичних задач Мо використовується, наприклад, при:

• плануванні обсягу виробництва того або іншого товару (облік попиту).

14. Поняття варіації, її основні показники та способи їх обчислення. Властивості дисперсії та її різновиди.

Варіацією, тобто коливанням, зміною ознаки називається різниця його значень у різних одиниць сукупності в один і той же момент або період часу.

Показниками варіації в статистиці є:

• Варіаційний розмах (амплітуда коливань).

• Середнє лінійне відхилення.

• Середній квадрат відхилень (дисперсія).

• Середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення).

• Коефіцієнт варіації.

Варіаційний розмах (амплітуда коливань) є найпростішим показником варіації ознаки. Обчислюється як різниця між найбільшим і найменшим значеннями кількісної ознаки в деякій сукупності.

Простота підрахунку розмаху варіації сприяє його широкому застосуванню в теоретичних дослідженнях і практичних розрахунках. Разом з тим, цей показник має істотний недолік: він не дає уявлення про ступінь коливання ознаки всередині сукупності, оскільки обчислюється на основі тільки двох крайніх значень ознаки, які не завжди характерні і можуть носити випадковий характер. Тому існує інший показник, який дає більш точну характеристику коливанню ознаки, оскільки порівнює всі наявні його значення з середньою величиною. Цей показник називається середнє лінійне відхилення . Воно є середньою арифметичною з відхилень окремих абсолютних значень ознаки від їх середнього значення. Може бути простим і зваженим.

Дисперсія є середньою величиною з квадратів відхилень окремих значень ознаки від їх середньої арифметичної. Дисперсія визначається за наступними формулами:

Таким чином, дисперсія виражає міру ступеня коливання ознаки, що вивчається. Вона враховує знак відхилення і на відміну від СЛВ не має розмірності.

Середнє квадратичне відхилення є коренем квадратним з дисперсії.

Необхідність його підрахунку зв'язана з тим, що розмір дисперсії дорівнює квадрату розміру ознаки, що вивчається. Це робить її не завжди придатною і зручною при визначенні міри ступеня коливання ознаки, для чого і використовується СКВ.

Смисловий зміст СКВ такий же, як і СЛВ - чим менше , тим більш однорідна сукупність, тим більш типова середня, тим більш стійке явище і процес.

Для підрахунку дисперсії і СКВ зручно користуватися наступними математичними властивостями дисперсії:

• Якщо всі варіюючі значення ознаки зменшити на постійну величину, дисперсія не зміниться.

• Якщо всі значення варіантів зменшити в раз, дисперсія зменшиться в 2 раз.

• Дисперсія дорівнює середній з квадратів варіантів мінус квадрат середньої:

Для порівняння варіації ознак в різних сукупностях (коли показники варіації виражені в різних одиницях) використовується відносний показник, так званий коефіцієнт варіації .

Він є процентним відношенням середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

Коефіцієнт варіації характеризує коливання ознаки у відносних одиницях вимірювання.

За допомогою цього коефіцієнта можна порівнювати варіацію таких різних ознак як продуктивність праці, врожайність, продуктивність тваринництва і т.д.