41.Понятие о случайных процессах.Типы случайных п

x(t,ω) – функция двух переменных. Для любого t фиксир x_t(ω) – сл. вел.. ω – фиксир x(t, ω)=x(t) – траектория.

Случайным процессом наз-ся ф-ция двух переменных – t и ω такая, что при каждом фиксированном t она будет случайной величиной.

Чтобы задать случ. процесс, необх. определить:

1) x_t(ω) – пространство состояний (действ, целоч, сл.в)

2) Параметр t из T

a) T={1,2,…} x_t(ω) – случ. последовательность

б) T=[0, +∞) t – время, x_t(ω) – случ. процесс

в) Т=R² – случайное поле. t≥0, и t=0,1,…x_t(ω) – временой ряд

3) - зависимы для любого t_j, k≥1

Для каждых t_j и k должны быть определены их совместные распределения: -гауссовский процесс

Типы:

1) Процесс с незав. значениями

x₁,…,x_n – нез.о.р.с.в. {x_t}_t≥0 x_t и х_s – незав, если t≠s

2) Процесс с независ. приращением.

{x_t}_t≥0 где ξ_i – нез. сл.вел.

3) Марковские процессы

Процесс, в кот. буд. не зависит от прошл. при изв-ом настоящем. 0<t₁<…<t_k<∞; P(a≤x_tk≤b/ X_tk-1=x_k-1,…,X_t1=x₁)=P(a≤x_tk≤b/ X_tk-1=x_k-1)

4) Стационарные процессы

5) Броуновское движение

{β_t},t≥0. Процесс, который выходит из нуля, имеет непрерывную траекторию, имеет гаусовские траектории, процесс с независимыми приращениями.

6) Пуассоновский процесс.

{π_t}, t≥0, пространство состояния которого – это числа 0,1,2,.. Поцесс с независимыми приращениями

42. Математическое ожидание, дисперсия и корреляцио

x_t(ω) – сл. вел, t – фиксир.

Математическое ожидание:

m(t)=E(x_t(ω))

Дисперсия:

σ²(t)=D(x_t(ω))

Ковариационная функция:

k(s,t)=cov(x_t(ω), x_s(ω))=E(x_t(ω)x_s(ω))-m(t)m(s); k(s,t)=k(t,s)

k(t,t)= σ²(t)

Коррeляционная функция:

r(t,s)=k(t,s)/(σ(t) σ(s))

43. Определение основных характеристик случайного п

Предположим, что имеем несколько траекторий случайного процесса: x(t), 0≤t≤T. Оценку мат. ожидания m^(t) построим следующим образом:

t₁,t₂,…,t_k – только в эти моменты можем наблюдать процесс. В момент t_j произведем оценку:

Если процесс {x_t} – стационарный, то его мат.ожид.: m(t)=const, k(t,s)=k(|t-s|); m(t)=E(x(t)); m(t+h)=E(x(t+h))

X(t) и X(t+h) имеют одинаковое распределение по опред. тационарного процесса m(t)=m(t+h) σ²(t)=k(t,t)=k(|t-t|)=k(0)=const

Процесс x(t) называется стационарным в широком смысле, если его E(x(t)=const, а его k(t,s)=k(|t-s|) (зависит от |t-s|)

Предположим,что проц. явл-ся стационарным. Тогда оценку его мат.ожид. и ковар. ф-ции сложно произвести по 1 траектории.

t₁<t₂<…<t_n. Тогда а оценку коррел. ф-ции произведем по след. формуле: r(μ)=b(μ)/b(0)

44.Марковские цепи. Переходные вероятности.Пример

Марковский процесс:

Процесс, в кот. буд. не зависит от прошл. при изв-ом настоящем. 0<t₁<…<t_k<∞; P(a≤x_tk≤b/ X_tk-1=x_k-1,…,X_t1=x₁)=P(a≤x_tk≤b/ X_tk-1=x_k-1)

Будем рассм. марк. цепи для дискр. моментов времени:

Р(Х(n+1)=j|X(n)=i)=P(X(n+1)=j|X(n)=i,…X(t)=k)=P_ij^n,n+1

Если от n не завис, то она будет стационарной. Пусть марк. цепь имеет конечное число состояний. Тогда P_ij будем называть переходными вер-стями и запис-ть их в виде матрицы: Р=(Р_ij)₁ⁿ. Цепь определеяется тем, что ее значения (состояния) есть изолированные значения.

1) P_ij>0, 2) сумма по j P_ij равна 1 для i=1,…,n. Р=(записать матрицу), где P_ij – усл. вер-сть перейти из состояния i в j.

Матрица со свойствами (1) и (2) наз-ся стохастической. Определим еще вер-сть: Р_(Х(0)=i)=π_i. Сумма π_i по i =1. Покажем, что если задана и матрица Р_ переходных вероятностей, то марк. цепь полностью определена:

P_(X₀=i₀,X₁=i₁,…,X_k=i_k)=P(X_k=i_k|X_k-1=i_k-1,…,X₀=i₀)*P(X_k-1=i_k-1,…,X₀=i₀)=(в сиду марк. цепи)=P(X_k=i_k|X_k-1=i_k-1)*P(X_k-1=i_k-1,…,X₀=i₀)=P_ik-1,ik*P(X_k-1=i_k-1,…,X₀=i₀)=(по индукции)=P_ik-1,ik*P_ik-2,ik-1*P(X₁=i₁,X₀=i₀)=(т.к. P(X₁=i₁,X₀=i₀)=P(X=i₁|X₀=i₀)P(X₀=i₀)=P_i0,i1π_i0)= π_i0*P_i0,i1+…*P_ik-1,ik

i₀  i₁ …i_k-1i_k

Примеры: x_k=ξ₁+ξ₂+…+ξ_k, x_k=x_k-1+ξ_k. P(x_k=i|x_k-1=j)=P(X_k-1+ ξ_k=i|x_k-1=j)=P(j+ ξ_k=i|x_k-1=j)=P(ξ_k=i-j|x_k-1=j)=a_i-j

2)Одномерн. случ. блуждения

P (x_k=i-1|x_k-1=i)=q_i

P(x_k=i|x_k-1=i)=σ_i

P(x_k=i+1|x_k-1=i)=p_i

q _i ,σ_i ,p_i≥0, q_i+σ_i+p_i=1