31.Проверка модели на адекватность в методе наимень
xi= θ0+ θ1bi+…+ θmbim+ εi , m – степень полинома
Пусть θ0^,.., θm^ - оценки наим. квадратов
xi= θ0^+ θ1^bi+…+ θm^bim – вектор кажущихся наблюдений
α – уровен значимоти (чаще =0,05)
ν=n-m-1 – число степеней свободы
Гипотеза: Н0: m0 – истинная степень полинома
Н1: m≠m0
Если: 1) с1<γ2<c2 – выб. данные не противоречат гипотезе
2) с1≥γ2 – степень полинома завышена
3) с2≤γ2 – степень полинома занижена
32. Статистическая гипотеза. Методы проверки гипотез
Имеется предполож. о виде ф.р. – гипотеза Н0(согласия):
Н0: F(x)=F0(x), и сущ. обр: H1: F(x)≠F0(x). Треб-ся по выб.
x1,…,хn сделать вывод относит. Н0. Будем использ-ть принцип фальсификациии: отклонять Н0. Все выбороч. пр-во разбив-ся на 2 части: ω – критич. обл-т. Попадая в нее –отвергаем, и Rn/ ω – область принятия гипотезы. Критич. область выбирается так, что Р(х прин. ω| Н0 отверг) ≤α.
Методы проверки гипотез о распределении:
1) Метод вероятностных бумаг (метод спрямления)
2) Метод критериев или тестов
Пусть F(x) – ист. распр-ия, а F0(x) – гипотеза
1 этап: выбирается ρ(F,F0) – расстояние. Заменяем истин. на эмпир., т.к. при большом n Fn≈F. ∆n= ρ(Fn,F0)
2 этап: выберем сα так, чтобы Р(∆n> сα | Н0верна) ≤α.
Если ∆n> сα гипотеза отвергается
Критерий ки-кв. Пирсона
Разобьем обл-ть возм. зн-ий на интервалы, как при постр. гистограмм. Пусть их к штук. Имеется гипотеза: F(x)=F0(x). Выборка x1,…,хn, [ai-1;ai] – i-ый инт-л. pi0=F0(ai)=F0(ai-1) –вер-сть, рассчит. по гипотезе.
mi/n=Fn(ai)-F(ai-1)
– эмпирич. ф-ция. Согласно МНК сост след
сумму:
Возьмем
ci=n/pi0.
Njulf
Если Н0 верна, то χ2→χ2(ν), где ν=k-1 – степень свободы
Критерий: Если
α – задано
если χ2> сα, то гипотезу отвергаем.
33.Статистическая гипотеза. Методы проверки гипотез
Имеется предполож. о виде ф.р. – гипотеза Н0(согласия):
Н0: F(x)=F0(x), и сущ. обр: H1: F(x)≠F0(x). Треб-ся по выб.
x1,…,хn сделать вывод относит. Н0. Будем использ-ть принцип фальсификациии: отклонять Н0. Все выбороч. пр-во разбив-ся на 2 части: ω – критич. обл-т. Попадая в нее –отвергаем, и Rn/ ω – область принятия гипотезы. Критич. область выбирается так, что Р(х прин. ω| Н0 отверг) ≤α.
Методы проверки гипотез о распределении:
1) Метод вероятностных бумаг (метод спрямления)
2) Метод критериев или тестов
Пусть F(x) – ист. распр-ия, а F0(x) – гипотеза
1 этап: выбирается ρ(F,F0) – расстояние. Заменяем истин. на эмпир., т.к. при большом n Fn≈F. ∆n= ρ(Fn,F0)
2 этап: выберем сα так, чтобы Р(∆n> сα | Н0верна) ≤α.
Если ∆n> сα гипотеза отвергается
Критерий Колмогорова:
∆n = max|Fn(x)-F0(x)|
√n*∆n>kα
– отверг. Н0,
где Н0:
F(x)=F0(x)
Критерий Смирнова:
если
nω2>Sα
– отвергаем Н0.
α=0,05
Sα=0,461
34.Критерий отношени правдоподобия. Он же и критер
f0(x)=f(x;θ0), f1(x)=f(x; θ1), H0: f(x)=f0(x), H1: f(x)=f1(x)
(f0(x)≠f1(x)). Пусть φ(x) – вероятность отвергнуть Н0:
Теперь
наша задача ставится след. образом:
Е(φ(x))≤α.
Критерий отношения
правдоподобия:
найдется критическая функция φ(x)
и константа с такие, что
Е(φ(x))=α,
и
Пусть Н0: θ=θ0 - простая, Н1: θ≠θ0. Составим ф-цию правдоподобия: Lx(θ)=Пf(xi; θ)
при Н0: Lx(θ)-мак. возм. правдоподобие. max Lx(θ)= Lx(θ^), θ^ - оценка максимального правдоподобия.
Отношение
правдоподобия:
.
Выберем λα
так, что Р(λ≤λα|
Н0
– верна) ≤ α. Тогда если
λ≤λα
– Н0
отверг.
Если Н0 – сложная: θ=( θ1, θ2), θ2 - мещающий параметр. H0: θ1= θ10, H1: θ1≠ θ10,
то рассм. max
Lx(θ10,
θ2)=
Lx(θ10,θ2~)
max
Lx(θ1,
θ2)=
Lx(θ1^,θ2^),
и рассм
Сравнение критериев:
Н0: F(x)=F0(x). Разобьем на интервалы. pi0=F0(ai)-F0(ai-1) – вер-сть попасть в инт., mi/n – частота попад. в инт. Фактически имеем выборку (m1,…,mk).Они имеют полином. распр. Т.е. наша ф. правдоп:
Lx(p1,…,pk)=cПpjmj, где c=n!/m1!*…*mk!. Тогда фактически для зад. инт-лв наша гипотеза: Н0: pj=pj0, j=1,…k. Lx(p0)=cПpj0mj. maxLx(p1,…,pk)=Lx(p1^,…,pk^); , т.е. pi^=mi/n. Составим отношение правдоподобия: λ=П(mpi0/mj)mj. Обозначим Δj=(mj-npi0)/npi0=mj/npj0-1; 1+ Δj=mj/npi0. Рассмотрим -2lnλ=2Σ(mjln(mj/npj0))=2Σ(mj-npj0+npj0)ln(1+ Δj) ~ 2Σ((mj-npj0)+npj0)(Δj-1/2Δ2); ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…; 2Σ((mj-npj0) Δj+npj0Δj – 1/2npj0Δj2 - 1/2(mj-npj0) Δj2 (1/2(mj-npj0) Δj2 опустим, т.к. мало)
Σnpj0Δj=0; ~ Σ((mj-npj0)2/npj0)=χ2. т.е. 2Σ(mjln(mj/npj0)) эквивалентно χ2
пример:
x
принадл. N(a,σ2),
σ2
– неизв. Н0:а=а0,
Н1:а≠а0.
Lx(a)=П(1/√(2πσ2)*exp(-(xi-a)2/σ2)=(
2πσ2)n/2exp(-1/2σ2Σ(xi-a)2).
рассмотри отнош. правдоподоб:
Критерий для проверки гипотеза Н0 с критической областью ω будем называть состоятельным, если его мощность для любой альтернативы сходится к 0, т.е.
Р(х принадлежит ω| H1)1
Критерий называется несмещенным, если его мощность β не меньше размера криетрия (т.е. β≥α)