22.Законы больших чисел. Слабые и усиленные законы

X1,X2,…Xn – послед-ть случ. вел. X_n= – среднее арифм. X_n[n->∞]->a (когда?); a1,…,an – числ. послед-ть. X_n-a_{n [n->∞]}->0 – усл-е. Если сх-ть по вер-ти – слаб. закон больших чисел. Если сх-ть почти наверная – усилин. закон больших чисел.

Th Чебышева(слаб. закон б.ч.): Пусть x1,…,xn – послед-ть незав. случ. вел. у которых сущ-ют E(x_i)=a_i, D(x_i)= , выполнено усл-е , тогда Xn-a_n->0

Док-во: P(|Xn-a_n|>=ε)=<(по нерав-ву Чебышева) =<(E(Xn-a_n)²)/ε² (для люб. ε) т.е.

X_n-a_n ->0.

Th Бернулли: m/n – частота события А, в n – независимых испытаний P=p(A), тогда

m/n->0

Док-во:

E(m/n)=p;D(m/n)=1/n²D(m)=npq/n²=pq/n=p(p-1)/n≤1/n0

Th Бореля:

Th Хинчина: (Слабый закон больших чисел) x1,…,xn – не завис. одинак. расспр. случ. вел-ны, у кот-х сущ-ет E(x_i)=a, тогда x_n-->a

Док-во: рассм. вместо x_i x_i’=x_i-a. E(x_i’)=0.Пусть φ(t) – х.ф. x_i’. Тогда φ(t)=1+o(|t|). x_n’=x_n-a.

φ(t)≡1 – хар.ф. (у=0)=1.

23. Центральные предельные теоремы. Теоремы Линде

Отвечают на вопрос «как быстро сходятся?»

Т.Линдеберга: Пусть {Х_n} посл-ть нез.од-во распр-ых сл.вел. и Е(Х_i)=а и D(X_i)=σ² существуют, тогда

Док-во: рассм.х.ф. φ_xi(t)=1+iat-σ²t²/2+o(t²)

Т.Ляпунова: Пусть Х₁,…,Х_n,… нез.сл.вел. и Е(Х_i)=а и D(X_i)=σ²

;

, то

Т.Феллера: : Пусть Х₁,…,Х_n,… нез.сл.вел. и Е(Х_i)=а и D(X_i)=σ², и пусть

|x_i-a_i|>εB_n ; F_i(x)=P(X_i<x), тогда

условие принережимой малости

24.Задача маематической статистики. Выборка,методы

выборка – это рез-тат набл-ий x₁,х₂,…,х_n, интерпр-ые ка знач-ия сл.в-н. Х₁,Х₂,…,Х_n.

Задача МС: Есть выборка (x₁,х₂,…,х_n). Требуется по ней указать неизв. ф-цию F(x). Т.е. получили задачу, обратную ТВ.

Сущ. выборка (x₁,х₂,…,х_n).Необх. сделать выводы о ф-ции распр. Возможны 5 случаев:

1) Нет предпочт. одного распр. перед др. Тогда произв. оценку всех распр-ий (в виде эмпир. ф-ции, гистограммы)

2) Есть предпочт., кот-ые форм-ся в виде гипотез: Н₀: F(x)(неизв)=F₀(x)(дана) и H₁: F(x)≠F₀(x). Задача состоит в проверке гипотез согласия.

3)Известен вид ф.р.: F(x;θ). Зависит от неиз. пар-ов θ=(θ₁,…,θ_n). Нет предпочт. пар-ов.Тогда оценив-ие пар-ов.

4) Есть предпочт. о том, что θ=θ₀. Проверка гипотезы Н₀: θ=θ₀. Тогда занимаются построением доверит. интервалов.

5) Есть пара сл.вел. (Х,У). Тогда заним-ся анализом связей.

Методы получения выборки:

1.Вероятностный отбор

1) Мханический отбор. Случайный бесповторный отбор – все помещ. в шары, и вытаск. наугад. Случ. повторный – шары возвращаются.

2) Сериная выборка. Выборка произв-ся сериями

3) Районированная выборка. Если совок-ст неоднор, то разбивают на классы и в кажд. проводт выбор.

4) Удобная выборка.Устан. контакт для опроса с уд. люд.

2.Невероятностный отбор

1) Метод снежного кома

2) Стихийная выборка (телефонный отбор)

25. Методы обработки выборки: вариацонный ряд, гис

Сущ. выборка (x₁,х₂,…,х_n).

1) Вариационный ряд. х_n⁽¹⁾≤х_n⁽²⁾≤… ≤х_n⁽ⁿ⁾

1.Среднее (ф-ла)

2. Стандартное отклонение

3. Дисперсия S²

4. Асимметрия

5. Эксцесс

6 Медиана med

2) Группировка – область разб-ся на интервалы

3) Гистограмма – Разб-ся как при групп-ке. Высота столбцов: l_i=m_i/(nδ_i), m_i – кол.в груп., δ_i – длина инт-ла

4) Эмпирич. ф-ция распр. есть выб. 6 2 3 1 2 4 .Строим ф.р.обычную.

Т. Гливенко F_n(x) – эмп. ф-ция, F(x)) – теор. ф.р. Δ_n=sup|F_n(x)-F(x)| и P(Δ_n→0)=1. Эмпир. ф-ция сх-ся к теорет. почти наверное.

Т.Колмогорова