45. Классификация состоний марковксих цепей. Приме

Рассмотирим { x_n}. x_n=i x_n+2=j-можем перейти из i в j за 2 шага, в следующий момент она может перейти в k, а из него в состояние j. Используя формулу полной вероятности можем показать, что p_ij= p_il p_lj

p^= p_ij^() =pp, pⁿ⁺¹=pⁿp= ppⁿ, p_ij⁽ⁿ⁺¹⁾ =  p_il⁽ⁿ⁾ p_lj

p_ij⁽ⁿ⁺¹⁾ – вероятность перехода из i в j за n+1 шаг.

Обозначим через f_ij вероятность перейти из состояния i в состояние j за n шагов. f_j = f_j⁽ⁿ⁾ –вероятность выходя из j когда-либо вернуться в это состояние. Среднее время возвращения _j= n f_j⁽ⁿ⁾

Опр-е состояние j будем называть невозвратным, если f_j<1 и возвратным, если f_j=1. Состояние j называется нулевым, если p_ij⁽ⁿ⁾0. Состояние j называется периодическим, если существует число t>0, называемое периодом, когда из i в j можем вернуться не ранее чем через t шагов. Если состояние возвратное и непериодическое, то p_ij⁽ⁿ⁾1/_j. Возвратное ненулевое и непериодическое состояние называется эргодическим. Состояние k достижимо из состояния j если существует такое n, что p_ij⁽ⁿ⁾>0. Множество состояний С будем называть замкнутым, если никакое состояние из этого С не достижимо из jC. Если это множество С состоит из одного элемента j>0, p_ij=1, то это состояние называется поглощающим. Из него марковской цепи никуда перейти нельзя. Если n a_n<1, то состояние возвратное, которое является ненулевым и непериодическим, еслиn a_n=1, то это возвратное нулевое, если n a_n>1-невозвратное состояние

Оценка долговечности режущих инструментов

В t=0езец находился в хорошем состоянии, с течением времени тупится, его состояние описывается номером i , последующее состояние говорит о том, что он негоден. Если он находится в состоянии i, то в j он перейдет с вероятностью p_ij, если j<1, то вероятность перехода =0

Матрица переходных вероятностей имеет вид:

p_kk=1

E(i)-время перехода в поглощающее состояние из состояния i, тогда

E()=NC

Предположим, что матрица перехода имеет вид:

D()=(2N-I) E()-I₂

46.Временные ряды: определение.Тренд. Стационарны

{x_n}, где n интерпретируется как время. Важной особенностью временного ряда явл-ся зависимость величин x_n. Если {x_n}, n≥1, представляет собой стационарный процесс, то E(x_n)=const, D(x_n)=const, k(x₀,x_k)=ρ(k). Если процесс нестационарный, то m(t) – мат. ожидание, m(t)=α₁m₁(t)+α₂m₂(t)+α₃m₃(t). m₁(t) – тренд, m₂(t) – сезонная составляющая – период. ф-ция с небольшим периодом, m₃(t) – циклическая составляющая с большим периодом . Исходный случайный процесс: X_t=m(t)+ε(t).

ε(t) – случайная составляющая. Тоже временной ряд, который будем считать стационарным временным рядом. Можем представить в виде АР+СС.

тренд

m(t)=θ₀+θ₁t+..+θ_pt^p – медленно меняющаяся функция.

47.Стационарные временные ряды. Проверка гипотезы

Критерий серий

ν(n) – число серий, τ(n) – самая длинная,

Если хотя бы одно из этих неравенств будет выполнено, то гипотеза о стационарности отвергается.

Критерий восход. и нисход. серий

x(1),x(2),…,x(n) – исходн. временной ряд.

τ(n)≥τ₀(n) τ₀(n) берется из таблицы. Если одно из неравенств оказывается выполнено, то гипотеза отвергается.