1. Понятие вероятности, интерпретация вероятности.

Сущность – внутреннее содерж-ие предм., выражающ-ся в единстве многообр. Св-в и отношений.

Явление – то или иное обнаружение предм. Внешней формы его существования.

Событие – опр-ся тем, произошло или нет некот. явл-ие

Наблюдение – целенаправ. Восприятие, обусл. Задачей деят-сти

Эксперимент – чувствено-предм. деятельноть в науке.

Пример с монетой. Вначале частота скачет, потом прибл. к некот. числу. Этот факт – св-во уст-сти частот, а число – интерпретир. как вероятность.

Случ. событие – событие, исход кот-го неоднозн. опр-ся комплексом условий, но кот. обладает св-вом уст.част.

Прдмет ТВ: случ. События и их вер-сти. Задача: построить ма. теор., в кот. док-ся факт уст-ти частот.

Способы определения:

1) Статистический – при большом числе испытаний за вер-ть принимается частота

2) Класический – nравновозможных эл-ых исх. Частота равна частному…

3) Геометрический – каждому исходу ставится в соот-ие точка, вер-сть = площ. благопр/площ. элемент.

2. Случайные события, операции над событиями

Случ. событие – событие, исход кот-го неоднозн. опр-ся комплексом условий, но кот. обладает св-вом уст.част.

1). AUB 2).Авкл..В. Если Авкл В и В вкл А, то А=В

3). А*В опр. несовм.соб. 4).А-В.

Элемент. исх. – неразложимые. Пример с гранями.

Алгебра событий:если 1) Ωприн.Ǻ 2)Априн. Ǻ, то и Āприн. Ǻ 3)А,В прин. Ǻ, то и АUВприн. Ǻ (конечн. число)

σ-алгебра событий: если 1) Ωприн.Ǻ 2)Априн. Ǻ, то и Āприн. Ǻ 3)А₁,А₂,… прин. Ǻ, то и А₁UA₂U…прин. Ǻ (бесконечн. число)

3.Математическое опрделение вероятности. Аксиомы

Пусть Ǻ - σ-ал. и А прин. Ǻ. Вер.поКолмогор. наз-ся ф-ия, зад на σ-ал, кот. кажд. сл. событию ставит в соотв-ие число Р(А).

Аксиомы: 1)Р(А) ≥0 2)Р(Ω)=1 3)Если А,В прин. Ǻ, А*В=Ø, то Р(АUВ)=Р(А)+Р(В)

сов-сть объектов, удовл.-их 1-3 – вер-стное прост-во

Св-ва вер-сти:

1) А противопол. к А. Тогда Р(Ā)=1-Р(А)

Р(Ω)=1, Р(Ω)=Р(АUĀ)=Р(А)+Р(Ā).

2)Если АвклВ, то Р(А-В)=Р(А)-Р(В)

В=АU(В-А)=АU(В*Ā)-несовм. раскл. на сумму АU(В-А)

3) А,В – произ. то Р(АUB)=P(A)+P(B)-P(A*B)

АUВ=АU(В-А*В) А(В-АВ)=АВ-ААВ=АВ-АВ= Ø, т.е. Р(АU(В-АВ))=Р(А)+Р(В-АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

4) А₁,А₂,…,А_nприн. Ǻ, и попарно несовм., то Р(А₁UА₂U…UА_n)=сумме Р(А_i)

4.Условная вероятность. Формула умножения.

n испытаний, А вып-ся m раз, В вып-ся k раз, АВ вып-ся l раз. h_n(A)=m/n, h_n(B)=k/n, h_n(AB)=l/n.Вер-сть А приуслов. что вып-ся В: h_n(A/В)=h_n(AB)/h_n(B)=l/k

Р(А/В)=Р(АВ)/Р(В) условная вероятность

Если А₁ и А₂ – несовм., то:

св-ва: 1)Р(А/В) ≥0 2)Р(Ω/В)=Р(ΩВ)/Р(В)=Р(В)/Р(В)=1

3)А₁,А₂ – несовм, то Р(А₁UА₂/В)= Р((А₁UА₂)В)/Р(В)= Р(А₁ВUА₂В)/Р(В)=Р(А₁/В)+Р(А₂/В)

ф-а умнож: Р(АВ)=Р(А/В)Р(В)

А,В,С: Р(АВС)=Р(А/ВС)Р(ВС)=Р(А/ВС)Р(В/С)Р(С)

5. Нез-сть событий и дискр. случайных величин.

А и В – незав, если Р(АВ)=Р(А)Р(В). n соб. А₁,А₂,…,А_n – неза. в совок-ти, есил для люб. 1 ≤i₁≤…≤n:

Р(А_i1,А_i2,…,А_ik)=Р(А_i1)Р(А_i2)…Р(А_ik)

X=x₁,…,х_k, Y=y₁,…,y_m Дикр. сл. вел. независимы, если если P(X=x_i,Y=y_j)=P((X=x_i)(Y=y_j))= P(X=x_i)P(Y=y_j) для любых i и j.

X и Y независ. <=> для любых i и j события (X=x_i), (Y=y_j) – независ.