19. Основы квантово-механического представления о строении атома.

20. Уравнение Шредингера для атома водорода. Физический смысл квантовых чисел. Правила отбора.

Простейшая система, состоящая из электрона е, который движется в кулоновском поле ядра с зарядом Ze, называется водородоподобной. При Z=1 это атом водорода, при Z=2 – однократно ионизированный атом гелия – ион и т.д.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в такой системе равна (1), где r- расстояние между электроном и ядром, которое в первом приближении будем считать точечным.

Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид (2)

Поле (1), в котором движется электрон, является центрально-симметричным, т.е. зависит только от r. Поэтому решение уравнения (2) наиболее целесообразно проводит в сферической системе координат , где оператор Лапласа имеет вид

.

Как следует из решения уравнения Шредингера для атома водорода, квантовое состояние электрона в этом атоме (можно сказать и квантовое состояние атома) полностью определяется заданием трех квантовых чисел. Каждое из квантовых чисел принимает только целочисленные значения и определяет, то есть предсказывает результаты измерения основных физических величин в заданном квантовом состоянии атома.

1. Главное квантовое число n. Это квантовое число принимает значения

, и определяет полную энергию электрона в любом квантовом состоянии

2. Орбитальное (азимутальное) квантовое число . В квантовых состояниях с заданным значением главного квантового числа азимутальное квантовое число может иметь следующие значения:

Из выводов предыдущего параграфа следует, что стационарные волновые функции , описывающие различные квантовые состояния атома, являются собственными функциями не только оператора полной энергии , но и оператора квадрата момента импульса , причем .

Следовательно, в любом квантовом состоянии атом обладает определенным значением квадрата момента импульса, причем модуль орбитального момента импульса движущегося в атоме электрона однозначно определяется орбитальным квантовым числом: .

При классическом описании движения электрона в атоме по определенной траектории (орбите) в любом состоянии атом должен обладать ненулевым моментом импульса.

Опыт подтверждает существование квантовых состояний атома с нулевыми орбитальными моментами. Следовательно, опыт подтверждает, что только отказ от классического траекторного способа описания движения электрона в атоме позволяет правильно рассчитать и предсказать свойства атома. Вероятностный способ описания движения частиц в квантовой механике является единственно правильным способом описания свойств атомных систем - таков вывод современной физики.

Так как движущийся вокруг ядра электрон является заряженной частицей, то такое движение обуславливает протекание некоторого замкнутого тока в атоме, который можно охарактеризовать орбитальным магнитным моментом .

В теории Бора, когда с позиции классической теории рассматривается круговое движение электрона по орбите радиуса со скоростью , величина орбитального механического момента равна . Если время полного оборота электрона T, то такому движению соответствует замкнутый ток , который можно охарактеризовать величиной магнитного момента .

Связь механического и магнитного моментов при этом определяется гиромагнитным отношением . Так как заряд электрона отрицателен, то для орбитального движения направление вектора магнитного момента противоположно направлению вектора механического момента импульса (рис.).

Для расчета орбитального магнитного момента в квантовой теории следует определить пространственную плотность электрического тока через плотность потока вероятностей по формуле: =-e . Плотность потока вероятности при этом можно найти по формуле (3.23), зная волновую функцию электрона в заданном квантовом состоянии атома. Точный квантовомеханический расчет гиромагнитного отношения также приводит к формуле (5.39).

Итак, в любом квантовом состоянии атом водорода обладает не только механическим моментом , величина которого определяется формулой (5.38), но и магнитным моментом. . Здесь универсальная постоянная служит единицей измерения магнитных моментов атомов и называется магнетоном Бора. Если атом переходит из одного квантового состояния в другое с испусканием (поглощением) фотона излучения, то возможны лишь такие переходы, для которых орбитальное квантовое число изменяется на единицу. Это правило, согласно которому для оптических переходов , называется правилом отбора. Наличие такого правила отбора обусловлено тем, что электромагнитное излучение (фотон) уносит или вносит не только квант энергии, но и вполне определенный момент импульса, изменяющий орбитальное квантовое число для электрона всегда на единицу.

3. Магнитное квантовое число . В квантовом состоянии с заданным значением орбитального квантового числа , магнитное квантовое число может принимать (2 +1) различных значений из ряда m= 1, 2, 3.., .

Физический смысл магнитного квантового числа вытекает из того, что волновая функция , описывающая квантовое состояние электрона в атоме водорода, является собственной функцией оператора проекции момента импульса , причем .

Поэтому, из общих положений квантовой механики следует, что проекция момента импульса электрона на выделенное в пространстве направление может иметь только определенные значения, равные . Направление в пространстве обычно выделяется внешним полем (например, магнитным или электрическим), в котором находится атом.

С точки зрения классического представления об электронной орбите, с учетом перпендикулярности вектора к плоскости орбиты, соотношение определяет возможные дискретные расположения электронных орбит в пространстве по отношению к направлению внешнего поля.

Отмеченная выше связь механического и магнитного моментов атома позволяет с учетом записать также возможные значения проекции магнитного момента атома на выделенное направление :

зависящие от значения магнитного квантового числа m. Группа линий интенсивности, которых подчиняются определенным закономерностям называется спектральной линией. Наибольшая частота для каждой серии с главным квантовым числом n соответствует значению m= и называется границей серии или спектральным термом. Частота линии равна разности термов:

Частоты линий в сериях:

(серия Лаймана)

(22)

(серия Бальмера)

(23)

(серия Пашена)

(24)

(серия Брэккета)

(25)

(серия Пфунда)

(26)

Постоянная R в формулах частот – постоянная Ридберга.

Высокочастотная граница серии Лаймана определяет фундаментальную характеристику атома водорода – энергию ионизации:

(27)