2.4. Движение планет вокруг Солнца
Согласно первому закону Кеплера, орбита каждой планеты солнечной системы представляет собой некоторый эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Во второй части пособия мы займемся подробным исследованием этой и других закономерностей движения планет с помощью постановки соответствующих вычислительных экспериментов. Сейчас же нашей целью будет вывод уравнений движения планеты массой m в поле притяжения Солнца массой M. В силу того, что M>>m, будем считать Солнце неподвижным17 и поместим начало координат в точку его нахождения.
Рис. 3
Мы будем рассматривать плоское движение, в связи с чем, достаточно ввести две декартовы координатные оси (см. рис. 3). Тело массой m (планета) имеет координаты x(t) и y(t), которые изменяются в процессе его движения вокруг Солнца. Нашей целью является получение дифференциальных уравнений, определяющих эту временную эволюцию координат планеты.
Пусть в некоторый момент времени t планета находится в точка А и имеет координаты x(t) и y(t). На нее действует только одна сила F – сила притяжения со стороны Солнца, равная по модулю
,
(27)
где
- расстояние от планеты до Солнца. Эта
сила направлена по прямой, соединяющей
планету и Солнце. Обозначая через
и
ее проекции на координатные оси и
используя второй закон Ньютона F=ma,
мы можем написать два скалярных уравнения
движения планеты вдоль координатных
осей
.
Из рис. 3 имеем
(28)
(обратим внимание на то, что сила F направлена к центру и поэтому ее проекции имеют направления противоположные соответствующим координатным осям).
Из рис. 3 видно, что угол в силовом треугольнике равен углу в треугольнике OAB , гипотенуза которого является расстоянием до Солнца, а катеты – декартовыми координатами планеты x(t) и y(t). Это дает возможность написать входящие в уравнения (28) тригонометрические функции в виде
. (29)
Тогда уравнения движения приобретают вид
(30)
После сокращения на массу m и выражения расстояния до Солнца R через координаты планеты, окончательно приходим к следующей системе дифференциальных уравнений
(31)
где
.
Это система двух связанных ОДУ относительно
двух функций времени x(t)
и y(t).
Очевидно, что эти уравнения являются
нелинейным в силу наличия в знаменателе
функции
.
Аналитическое решение системы (31) было найдено в свое время Исааком Ньютоном и результаты его исследования можно сформулировать следующим образом. Траектория движения тела в поле неподвижного гравитационного центра представляет собой одно из пяти конических сечений – окружность, эллипс, параболу, гиперболу или прямую. Более того, из системы ОДУ (31) получается не только первый закон Кеплера, но и два других его закона, которые мы обсудим во второй части пособия.
Подведём итог. В разделе 1.2.1. мы ознакомились с понятием дифференциальных уравнений. При этом мы подчеркиваем, что применение второго закона Ньютона автоматически приводит к некоторым дифференциальным уравнениям или их системам. Мы также ознакомились с различиями между линейными и нелинейными ОДУ и с тем фактом, что очень редко удается найти аналитическое решение для нелинейных ОДУ, в силу чего особую роль при их исследовании играют численные методы, к рассмотрению которых мы переходим.
Проектное задание. Вывести дифференциальные уравнения, описывающие движение нескольких наиболее близких к Солнцу планет с учётом их взаимного гравитационного влияния друг на друга.