Тест рубежного контроля №7

Тест содержит 2 задания, на выполнение которых отводится 5 минут. Выберите наиболее правильный, по Вашему мнению, вариант ответа и отметьте его любым значком в бланке ответов.

1. Можно ли получить для задачи трех тел общее аналитическое решение?

1) Да.

2) Нет, это принципиально невозможно.

3) Да, но это очень сложно.

2. При плоском движении трех тел каждое из них движется:

1) По своей эллиптической орбите

2) Движение тел может носить хаотический характер

3) Тела могут двигаться по одной и той же траектории, представляющую собой спираль Архимеда.

Бланк ответов

№	1	2	3
1)
2)

Критерий оценки

Число правильных ответов ------ 2 1 0

Оценка --------------------------------- 5 3 2

Модуль 8. Простые хореографии в задаче n тел Комплексная цель: Ознакомить студентов с необычными траекториями в задаче n тел с одинаковыми массами, которые получили название «простых хореографий».

Краткое изложение программного материала: Начиная с открытой менее 10 лет назад восьмеркообразной траектории для случая трех тел, студенты знакомятся с различными причудливыми простыми хореографиями для случая многих тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения.

Пр: На предыдущем этапе мы с Вами занимались задачей трех тел и рассмотрели тот частный случай, когда все они имели одинаковые массы и двигались по одной и той же траектории (окружности). При этом в любой момент времени положение этих трех тел образовывали равносторонний треугольник. Это один из немногих частных случаев задачи трех тел, для которых можно получить аналитическое решение. Рассмотренный пример, как и несколько других частных случаев задачи трех тел, были указаны еще в 1772 году Лагранжем. Обязательно познакомитесь с ними по книгам, посвященным небесной механике, или найдите соответствующую информацию в Интернете.

Более того, в конце XIX века Г. Э. Брунсу и А. Пуанкаре удалось доказать, что общее решение задачи трех тел нельзя выразить через алгебраические или однозначные трансцендентные функции координат и скоростей тел.

Ст: Поскольку упомянутые Вами результаты Лагранжа были получены весьма давно, у меня возник вопрос о том, что было сделано в этой области с тех далеких времен…

Пр: Вы можете поискать соответствующую информацию в Интернете, но смею Вас заверить, что принципиально новые результаты в решении задачи трех тел были получены только недавно, а именно, в самом конце 1999 г (как раз к моменту наступления нового тысячелетия!).

Ст: Ваши слова мне представляются очень интересными – неужели для столь старой по своему происхождению задачи небесной механики «принципиально новые», как Вы выразились, результаты были получены столь недавно – менее 10 лет тому назад…

Пр: Как ни странно, но это действительно так. Открытие, о котором я говорю, было сделано А. Шенсине и Р. Монтгомери (их статья [16] называется «Замечательное периодическое решение задачи трех тел в случае равных масс»). В результате весьма сложных математических расчетов, которые далеко выходят за рамки привычного для физиков математического аппарата, авторам вышеуказанной работы удалось доказать существование некоторой неподвижной траектории в форме восьмерки, вдоль которой движутся три тела одинаковой массы. Существование этой необычной траектории (см. рис. 7) было подтверждено прямыми численными экспериментами, в которых самое активное участие принимал известный исследователь в области небесной механики К. Симо.

Ст: Мне кажется, что я бы мог достаточно легко построить такую траекторию с помощью своей Maple-программы…

Пр: Интересно, а как Вы собираетесь это сделать? Какие вы будете задавать начальные условия?

Ст: А разве я не могу попробовать самостоятельно подобрать соответствующие начальные условия таким образом, чтобы получилась изображенная на рисунке 7 орбита…

Пр: Попробуйте, попробуйте! Проблема такого подбора намного сложнее известной задачи поиска иголки в стоге сена. Не забывайте, что Вы должны соответствующим образом подобрать 12 чисел – начальные координаты и скорости всех 3 тел, а это задача поиска в многомерном пространстве…

Ст: Да, я уже начинаю понимать, что «просто так» начальные условия для построения вышеуказанной траектории найти не удастся…

Пр: Зато Вы можете достаточно легко воспроизвести с помощью своей Maple-программы обсуждаемую выше траекторию движения трех тел, если Вам будет известны соответствующие начальные условия. Взять их можно из оригинальной работы [16], перевод которой можно найти в книге К. Симо «Современные проблемы хаоса и нелинейности» [17]). Попробуйте запустить Вашу Maple-программу со следующими начальными условиями:

(16)

…..

Ст: (заносит эти начальные условия в свою компьютерную программу). Да, действительно, все три тела движутся по восьмёркообразной траектории, галантно уступая друг другу дорогу, чтобы избежать возможных столкновений…

Рис. 7

Пр: Вы правильно заметили, проблема исключения столкновений чрезвычайно актуальна, а решение ее отнюдь не тривиально.

Ст: А что произойдет, если мы будем изменять начальные условия в некотором диапазоне около указанных Вами начальных данных (16), которые приводят к идеальной восьмёркообразной траектории?

Пр: Вполне одобряю Ваши намерения, поскольку такое «шевеление» начальных условий напрямую связано с исследованием устойчивости рассматриваемой нами замечательной восьмёркообразной траектории.

Ст: (запускает свою программу с несколько измененными начальными условиями). Видно, что в результате такого компьютерного эксперимента восьмёркообразная траектория утолщается (см. рисунок 8).

Рис. 8

Ст: (продолжает варьировать начальные условия). А вот если изменить начальные данные (16) существенным образом, наша особая траектория исчезает.

Пр: Отлично, а какие бы Вы предложили дальнейшие вычислительные эксперименты?

Ст: Я бы хотел посмотреть насколько устойчивой является восьмёркообразная траектория не только по отношению к изменению начальных условий, но и по отношению к вариации самого закона всемирного тяготения, в том смысле, как это мы делали при рассмотрении задачи двух тел (см. переход от формулы (7) к формуле (8)).

Пр: Я полностью поддерживаю Вашу инициативу и советую дома провести соответствующие вычислительные эксперименты.

…..

Ст: При различных δ в формуле (8) мне удалось получить самые различные типы движения трех тел с одинаковыми массами. Один из характерных примеров изображен на рисунке 9 (δ>0.06).

Рис. 9

На них хорошо видно хаотическое движение трех тел.

Пр: Очень хорошо. Как видите с детерминированным хаосом можно столкнуться буквально на каждом шагу.

В заключение хотелось бы привести несколько других примеров простых хореографий для движения N тел одинаковой массы при различных значениях N. Эти примеры взяты мной из работы К. Симо [17].

Рис. 10

Ст: А почему Вы пользуетесь термином «хореография»? Насколько он уместен для описания движения небесных тел?

Пр: Жаль, что я не могу показать Вам анимацию, соответствующую этим хореографиям: тогда бы Вы увидели, что движение наших тел очень причудливо. Наблюдателю и впрямь кажется, что они исполняют некоторые небесные танцы.

Учтите только, что в отличие от восьмёркообразной траектории, большинство траекторий, изображенных на рисунке 10 устойчивыми не являются.

Ст: А почему Вы называете эти хореографии простыми?

Пр: Этот общепринятый термин обязан своим происхождением тому, что все N тел движутся по одной и той же траектории.

Ст: А что, могут быть и «сложные» хореографии?

Пр: Да, могут быть… Но нам с Вами пора на чем-то остановиться. Давайте лучше подведем некоторые итоги проведенных нами занятий.

Проектное задание. С помощью численных методов решения дифференциальных уравнений пронаблюдать движение трёх одинаковых тел, взаимодействующих по закону всемирного тяготения Ньютона, вдоль восьмёркообразной траектории, используя начальные значения координат и скоростей этих тел, указанных в формуле (16). Рассмотреть устойчивость данной траектории относительно малых изменений начальных условий.